Question

Решить по схеме Горнера24x⁴+16x³3x-2=0;x³ +5x² +15x+27=0;27x³-15x² +5x-1=0.​​

Answer 1

Ответ:

1) $1)\ -\frac{2}{3},\ \frac{1}{2};\ 2)\ -3;\ 3)\ \frac{1}{3}$

Объяснение:

Если приведенный (старший коэффициент равен 1) многочлен $P(x)$ с целочисленными коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Если неприведенный (старший коэффициент не равен 1) многочлен $P(x)$ с целочисленными коэффициентами имеет рациональные корни, то они являются несократимыми дробями, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Схема Горнера позволяет легко установить остаток от деления и коэффициенты частного от деления многочлена $P(x)$ на бином $x - a.$ В случае, если $x = a$ является корнем этого многочлена, остаток будет равен 0.

Для примера, кубический многочлен $P(x) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3},$ двучлен $x - a.$

Составляем таблицу (см. рис), правило заполнения которой см. на рис. ниже.

Это эквивалентно такой записи:

${a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3} = (x - a)({b_0}{x^2} + {b_1}x + {b_2}) + r.$

1) $24{x^4} + 16{x^3} - 3x - 2 = 0.$

Если такое уравнение имеет рациональные корни, то они находятся среди чисел

$\pm \displaystyle\frac{1}{{24}},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{{12}},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{8},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{6},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{4},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{3},\,\, \pm \displaystyle\frac{2}{3},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{2},\,\, \pm 1,\,\, \pm 2$

Схема Горнера — см. рис.

Квадратное уравнение

$24{x^2} + 12x + 6 = 0;\\\\4{x^2} + 2x + 1 = 0$

корней не имеет, т. к. его дискриминант $D = {2^2} - 4 \cdot 4 < 0.$

Таким образом, данное уравнение имеет корни

$x = \displaystyle\frac{1}{2},\ x = - \displaystyle\frac{2}{3}.$

2) ${x^3} + 5{x^2} + 15x + 27 = 0.$

Ищем целый корень этого уравнения среди делителей свободного члена:  $\pm 1,\,\, \pm 3,\,\, \pm 9,\,\, \pm 27.$

Схема Горнера — см. рис.

Квадратное уравнение ${x^2} + 2x + 9 = 0$ корней не имеет, т. к. его дискриминант $D = {2^2} - 4 \cdot 9 < 0.$

Таким образом, данное уравнение имеет корень $x = - 3.$

3) $27{x^3} - 15{x^2} + 5x - 1 = 0.$

Ищем рациональный корень этого уравнения среди чисел $\pm \displaystyle\frac{1}{{27}},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{9},\,\, \pm \displaystyle\frac{1}{3},\,\, \pm 1.$

Схема Горнера — см. рис.

Квадратное уравнение

$27{x^2} - 6x + 3 = 0;\\\\9{x^2} - 2x + 1 = 0$

корней не имеет, т. к. его дискриминант $D = {( - 2)^2} - 4 \cdot 9 < 0.$

Таким образом, данное уравнение имеет корень $x = \displaystyle\frac{1}{3}.$

Answer 2

Для решения уравнений по схеме Горнера, мы будем использовать синтетическое деление для проверки возможных корней и поиска рациональных корней. Для каждого уравнения будем выполнять синтетическое деление с разными значениями x, чтобы найти корни.

1. Уравнение 24x⁴ + 16x³ - 3x - 2 = 0:

Сначала проверим, есть ли рациональные корни. Рациональный корень может быть вида p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае -2), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 24). Попробуем p/q = ±1, ±2.

• При x = 1: 24 + 16 - 3 - 2 ≠ 0
• При x = -1: 24 - 16 + 3 - 2 ≠ 0
• При x = 2: 192 + 128 - 6 - 2 ≠ 0
• При x = -2: 192 - 128 + 6 - 2 ≠ 0

К сожалению, ни одно из этих значений не является корнем уравнения. Мы можем попробовать метод численного решения для нахождения приближенных корней.

2. Уравнение x³ + 5x² + 15x + 27 = 0:

Сначала проверим, есть ли рациональные корни. Попробуем p/q = ±1, ±3, ±9, ±27.

• При x = 1: 1 + 5 + 15 + 27 ≠ 0
• При x = -1: -1 + 5 - 15 + 27 ≠ 0
• При x = 3: 27 + 45 + 135 + 27 ≠ 0
• При x = -3: -27 + 45 - 135 + 27 ≠ 0

Ни одно из этих значений не является корнем уравнения.

3. Уравнение 27x³ - 15x² + 5x - 1 = 0:

Сначала проверим, есть ли рациональные корни. Попробуем p/q = ±1.

• При x = 1: 27 - 15 + 5 - 1 ≠ 0
• При x = -1: -27 - 15 - 5 - 1 ≠ 0

Ни одно из этих значений не является корнем уравнения.

Итак, пока мы не нашли рациональных корней для этих уравнений. Для поиска корней вещественных уравнений вы можете воспользоваться методами численного решения, такими как метод Ньютона или бисекции.