Question

у прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 10 см. знайдіть радіус кола якщо периметр трикутника дорівнює 30 см (с рисунком) ​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Давайте позначимо дані:

• $a$, $b$ і $c$ - сторони прямокутного трикутника (з $c$ як гіпотенуза);
• $r$ - радіус вписаного кола;
• $h_a$ - висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу;
• $x$ та $y$ - відрізки гіпотенузи, які утворюються точкою дотику вписаного кола.

З формули площі трикутника маємо:

$\text{Площа} = \frac{1}{2}ab$

З формули для площі через радіус вписаного кола та півсуму сторін трикутника:

$\text{Площа} = r \cdot \text{півпериметр}$

Позначимо катети як $a$ і $b$, гіпотенузу як $c$, а радіус вписаного кола як $r$. Отже, формула для площі трикутника буде:

$\frac{1}{2}ab = r \cdot \left(\frac{a+b+c}{2}\right)$

Відомо, що $a = x + y$, $b = h_a = \frac{2 \cdot \text{Площа}}{c}$, $c = 3 + 10 = 13$. Підставимо ці значення:

$\frac{1}{2}(x+y) \cdot \frac{2 \cdot \text{Площа}}{13} = r \cdot \left(\frac{x+y+13}{2}\right)$

Спростимо рівняння, скориставшись тим, що $2$ та $13$ скасовуються:

$(x+y) \cdot \text{Площа} = 13r \cdot (x+y+13)$

Маємо додаткові рівняння:

$x + y = 13$ $x + 3 + y + 10 = 30$

Розв'яжемо ці рівняння, знайдемо $x$ та $y$, і підставимо їх у рівняння для радіуса $r$.