Question

В прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки у відношенні ь5:12 . Знайти катети трикутника, якщо радіус вписаного в трикутник кола дорівнює 3 см

Answer 1

катети прямокутного трикутника дорівнюють 15 і 8 см

Answer 2

Позначимо довжину гіпотенузи трикутника як $c$, а довжини катетів як $a$ і $b$. Також позначимо точку дотику вписаного кола з гіпотенузою як $D$.

За умовою, відомо, що $D$ ділить гіпотенузу $c$ на відрізки у відношенні 5:12. Отже, довжини відрізків $AD$ і $DB$ будуть:

$AD = \frac{5}{5 + 12} \cdot c = \frac{5}{17} \cdot c$

$DB = \frac{12}{5 + 12} \cdot c = \frac{12}{17} \cdot c$

Також відомо, що радіус вписаного кола $r$ дорівнює 3 см.

Маємо відомий факт: радіус вписаного кола $r$ дорівнює півсумі довжин катетів мінус гіпотенуза, і це можна записати у вигляді рівняння:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Підставляючи значення відомих величин, отримаємо:

$3 = \frac{a + b - c}{2}$

$a + b - c = 6$

Також маємо співвідношення Піфагора для трикутника:

$a^2 + b^2 = c^2$

Зараз ми маємо систему рівнянь з двома невідомими $a$ і $b$:

a + b - c = 6 \\ a^2 + b^2 = c^2 \end{cases}\] Можна вирішити перше рівняння відносно \(a\): \[a = c - b + 6\] Підставляючи це значення в друге рівняння, отримаємо: \[(c - b + 6)^2 + b^2 = c^2\] Розкриваємо квадрати і спрощуємо рівняння: \[c^2 - 2bc + 12b + 36 + b^2 = c^2\] Відмінимо \(c^2\) з обох боків та спростимо: \[2b^2 - 2bc + 12b - 36 = 0\] \[b^2 - bc + 6b - 18 = 0\] Тепер ми можемо використати коефіцієнти цього квадратного рівняння, щоб знайти значення катета \(b\), а потім підставити його у вираз для \(a\). Після знаходження \(a\) і \(b\) можна визначити \(c\) за формулою \(c = a + b + 6\).