Question

Cos^4x-Sin^4x>-корень2/2 решите неравенство пожалуйста ​

Answer 1

Ответ:

x∈(-3π/8 + πn ; 3π/8 + πn) , n∈Z

Объяснение:

$\displaystyle\cos {}^{4} x - \sin {}^{4} x > - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \left( \cos {}^{2} x\right) {}^{2} - \left( \sin {}^{2}x \right) {}^{2} > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Применим формулу сокращенного умножения : a²-b² = (a-b)(a+b) .

То есть:

$\displaystyle \left( \cos {}^{2} x - \sin {}^{2} x \right) \left( \cos {}^{2} x + \sin {}^{2} x \right) > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Зная cos²x - sin²x = cos2x и cos²x + sin²x = 1 мы имеем:

$\displaystyle \cos2x > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

_____________

Вспомним :

Если cosx > a , где |а|<1 , то:

-аrccosa + 2πn < x < arccosa + 2πn

_____________

Применим это для нашего случая:

$\displaystyle \boldsymbol{- \arccos\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) + 2\pi n < 2x < \arccos\left( - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) + 2\pi n} \\ \\ - \bigg(\pi - \frac{\pi}{4} \bigg) + 2\pi n < 2x < \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \\ \\ - \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{1}{2} + \pi n \\ \\ - \frac{3\pi}{8} + \pi n < x < \frac{3\pi}{8} + \pi n,n\in Z$

Ответ: x∈(-3π/8 + πn ; 3π/8 + πn) , n∈Z

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом. Нам дано неравенство:

cos^4(x) - sin^4(x) > -√2/2

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрической идентичностью:

cos^2(x) - sin^2(x) = 1

Из этой идентичности можно выразить cos^4(x) и sin^4(x):

cos^4(x) = (cos^2(x))^2 sin^4(x) = (sin^2(x))^2

Теперь мы можем переписать наше неравенство в следующем виде:

(cos^2(x))^2 - (sin^2(x))^2 > -√2/2

Теперь давайте заметим, что это неравенство может быть представлено в виде разности двух квадратов:

[(cos^2(x))^2 - (sin^2(x))^2] > -√2/2

[(cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x))] > -√2/2

Так как cos^2(x) + sin^2(x) всегда равно 1 (это тригонометрическая идентичность), мы получаем:

[1(cos^2(x) - sin^2(x))] > -√2/2

Теперь заметим, что cos^2(x) - sin^2(x) может быть представлено как cos(2x):

cos(2x) > -√2/2

Теперь мы имеем уравнение cos(2x) > -√2/2. Чтобы решить это уравнение, найдем все углы между 0 и 360 градусов (или 0 и 2π радиан), для которых cos(2x) больше, чем -√2/2.

cos(2x) равен -√2/2 в двух точках на этом интервале: x = π/8 и x = 7π/8.

Теперь нам нужно определить интервалы, на которых cos(2x) больше, чем -√2/2. Это происходит, когда x находится между этими двуми точками.

Итак, решение неравенства:

cos^4(x) - sin^4(x) > -√2/2

это:

x ∈ (0, π/8) U (7π/8, 2π)