Question

найдите область определения и множество значений квадратичной функции: а) F(x)=-(x-5)²+8; б)f(x)=4(x+5)(x-7); в)f(x)=x²-8x+3; г)f(x)=-x²+6x-9.​

Answer 1

Ответ:

а) Область определения квадратичної функції F(x) є усі дійсні числа, оскільки під знаком квадрату є вираз (x-5), який має значення для будь-якого дійсного x. Множина значень складається зі всіх дійсних чисел, що можуть бути отримані зі значення 8 шляхом зміщення вершини параболи вниз.

б) Область определения квадратичної функції f(x) є усі дійсні числа, оскільки обидва доданки множення (x+5) і (x-7) мають значення для будь-якого дійсного x. Множина значень складається з усіх дійсних чисел, оскільки квадратична функція може приймати будь-яке значення залежно від значення аргументу.

в) Область определения квадратичної функції f(x) є усі дійсні числа, оскільки функція складається з суми квадратичної функції (x²) і лінійної функції (-8x+3), обидві з яких мають значення для будь-якого дійсного x. Множина значень складається зі всіх дійсних чисел, оскільки квадратична функція може приймати будь-яке значення залежно від значення аргументу.

г) Область определения квадратичної функції f(x) є усі дійсні числа, оскільки під знаком квадрату є вираз (x), який має значення для будь-якого дійсного x. Множина значень складається зі всіх дійсних чисел, що можуть бути отримані зі значення -9 шляхом зміщення вершини параболи вниз. Оскільки коефіцієнт перед знаком квадрату від'ємний, то функція набуває максимального значення у вершині параболи і спадає на нескінченність

Answer 2

Давайте начнем с анализа каждой из заданных квадратичных функций:

а) F(x) = -(x - 5)² + 8: Область определения (множество всех возможных значений x) для этой функции - это вся числовая прямая R, так как любое действительное число x может быть подставлено в эту функцию.

Чтобы найти множество значений (множество всех возможных значений функции F(x)), давайте разберемся с вершиной параболы. Функция имеет форму параболы, направленной вниз, и вершина параболы находится в точке (5, 8). Это означает, что значение функции F(x) будет наибольшим в точке (5, 8), и множество значений будет отрицательными числами и числами, близкими к 8, но никогда не превышающими 8. Таким образом, множество значений F(x) - это множество всех чисел меньше или равных 8.

б) F(x) = 4(x + 5)(x - 7): Область определения - также вся числовая прямая R, так как любое действительное число x может быть подставлено в эту функцию.

Множество значений этой функции будет зависеть от значения x. Поскольку у нас есть произведение двух линейных множителей, множество значений будет отличаться в зависимости от того, какие значения x мы выбираем. Множество значений будет включать в себя все действительные числа, за исключением значений, которые делают выражение равным нулю. Это происходит в точках x = -5 и x = 7. Таким образом, множество значений F(x) - это множество всех действительных чисел, кроме 0.

в) F(x) = x² - 8x + 3: Область определения - вся числовая прямая R.

Для нахождения множества значений мы можем воспользоваться методом завершения квадратного выражения. Мы можем записать данную функцию в следующем виде: F(x) = (x - 4)² - 13. Теперь видно, что минимальное значение функции будет равно -13, и оно достигается при x = 4. Таким образом, множество значений F(x) - это множество всех действительных чисел, больших или равных -13.

г) F(x) = -x² + 6x - 9: Область определения - вся числовая прямая R.

Эта функция представляет собой параболу, направленную вниз. Максимальное значение этой функции будет в вершине параболы. Чтобы найти вершину, можно воспользоваться формулой x = -b / (2a), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае, a = -1, b = 6. Таким образом, x = -6 / (-2) = 3. Подставляя x = 3 в функцию, получаем F(3) = -3² + 6 * 3 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0. Таким образом, максимальное значение функции F(x) равно 0, и множество значений - это все действительные числа меньше или равные 0.

В итоге: а) Область определения: R, Множество значений: F(x) ≤ 8. б) Область определения: R, Множество значений: F(x) ≠ 0. в) Область определения: R, Множество значений: F(x) ≥ -13. г) Область определения: R, Множество значений: F(x) ≤ 0.