Question

При якому додатньому значенні х вирази 2х-2, х+3 та х+6 є послідовними членами геометричної прогресії?

Answer 1

Відповідь:

x=3

Пояснення:

якщо другий член поділити на перший- то це є q=$\frac{x+3}{2x-2}$

якщо третій член поділити на другий- це теж q =$\frac{x+6}{x+3}$
Складемо рівняння   q=q
$\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+6}{x+3} ;$

(х+3)(х+3)=(х+6)(2х-2);

х²+6х+9=2х²-2х+12х-12;

0=2х²-х²+10х-6х-12-9;

х²+4х-21=0

D=4²-4*1(-21)=16+84=100, √D=10

$x_{1}=\frac{-4-10}{2*1}=-7\\ \\ x_{2}=\frac{-4+10}{2}=3$

Answer 2

Складемо рівняння використовуючи факт, що $q=\frac{b_1}{b_2}=\frac{b_3}{b_2}=...=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}$

$\frac{x+3}{2x-2}=\frac{x+6}{x+3},\\(x+3)^2=(2x-2)(x+6),\\x^2+6x+9=2x^2+12x-2x-12,\\x^2+6x+9-2x^2-12x+2x+12=0,\\-x^2-4x+21=0,\\x^2+4x-21=0,\\x_1=-7, x_2=3$

Отже, шукане додатнє значення $x$ дорівнює $3$

Answer 3

Для того щоб вирази 2х - 2, x + 3 і x + 6 були послідовними членами геометричної прогресії, необхідно, щоб співвідношення між ними було таким:

(2x - 2) / (x + 3) = (x + 3) / (x + 6)

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння:

1. Перемножимо обидві сторони на (x + 3) і (x + 6), щоб позбутися дробів:

(2x - 2)(x + 6) = (x + 3)^2

2. Розкриємо дужки:

2x^2 + 10x - 12 = x^2 + 6x + 9

3. Перенесемо всі члени рівняння на одну сторону:

2x^2 + 10x - 12 - x^2 - 6x - 9 = 0

4. Спростимо рівняння:

x^2 + 4x - 21 = 0

5. Розв'яжемо квадратне рівняння:

(x - 3)(x + 7) = 0

Отже, ми отримали два можливих значення x: x = 3 та x = -7.

Таким чином, при додатньому значенні x = 3 вирази 2x - 2, x + 3 і x + 6 будуть послідовними членами геометричної прогресії.