Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²+2 и y=4+x

Answer 1

Ответ:     4,5 кв. ед.

Объяснение:

Строим графики функций    y=x²+2; cy=4+x.

Площадь фигуры BmCn равен разности

S=S(ABmCD)-S(ABnCD).

S=∫ₐᵇf(x)dx.

Пределы интегрирования видно на графике функций a=-1;  b=2. Тогда

S=∫₋₁²(4+x)dx - ∫₋₁²(x²+2)dx = 13,5 - 9 = 4,5 кв. ед.

1)  ∫₋₁²(4+x)dx= 4∫₋₁²dx +∫₋₁²xdx = 4(x)|₋₁² + 1/2(x²)|₋₁² = 4(2-(-1))+1/2(2²-(-1)²) =

=4*3 + 3/2 = 12+3/2 = 13.5 кв. ед.

2)   ∫₋₁²(x²+2)dx=∫₋₁²x²dx+2∫₋₁²dx=1/3(x³)|₋₁²+2(x)|₋₁²=1/3(2³-(-1)³)+2(2-(-1))=

=1/3(8+1) + 2(2+1) = 9/3+2*3 = 3+6=9 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 2 и y = 4 + x, нужно найти точки их пересечения, а затем найти интеграл разности этих функций между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения:

x² + 2 = 4 + x

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

x² - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем факторизовать его:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два значения x:

1. x - 2 = 0 => x = 2
2. x + 1 = 0 => x = -1

Теперь у нас есть две точки пересечения: (-1, 3) и (2, 4). Чтобы найти площадь между этими двумя кривыми, мы можем вычислить интеграл разности y = (x² + 2) - (4 + x) от -1 до 2:

S = ∫[from -1 to 2] [(x² + 2) - (4 + x)] dx

Выполним интегрирование:

S = ∫[from -1 to 2] (x² - x - 2) dx

S = [x³/3 - x²/2 - 2x] |[from -1 to 2]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = [(2³/3 - 2²/2 - 22) - ((-1)³/3 - (-1)²/2 - 2(-1))]

S = [(8/3 - 4 - 4) - (-1/3 + 1/2 + 2)]

Теперь вычислим значения:

S = [(8/3 - 12/6 - 24/6) - (-2/6 + 3/6 + 12/6)]

S = [(8/3 - 2 - 4) - (-2/6 + 3/6 + 12/6)]

S = [(8/3 - 2 - 4) - (13/6)]

S = [8/3 - 2 - 4 - 13/6]

Теперь выполним вычисления:

S = [8/3 - 6 - 13/6]

Для нахождения общего знаменателя приведем 6 и 3 к общему знаменателю:

S = [(16/6 - 36/6 - 13/6)]

Теперь сложим числители:

S = (-33/6)

Упростим дробь:

S = -11/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 2 и y = 4 + x, равна -11/2. Площадь может быть отрицательной, если кривая y = x² + 2 находится ниже кривой y = 4 + x в определенных интервалах.