Question

Найдите площадь фигуры,ограниченной линиями а) y 4-x^2 и осью абсцисс б) y=cosx  и x=pi/6   x=pi/3

Answer 1

1)Найдем точки пересечения с осью абсцисс
4-х²=0⇒(2-х)(2+х)=0⇒х=2 и х=-2
S=S(от-2до2)(4-х²)dх=4x-x³/3=4*2-2³/3-(4*(-2)-(-2)³/3)=8-8/3+8-8/3=16-16/3=32/3кв.ед.
2)S=S(от π/6 до π/3)сosx=sinx=sinπ/3-sinπ/6=√3/2-1/2=(√3-1)/2ед.кв.

Answer 2

а) Площадь фигуры, ограниченной линией y = 4 - x^2 и осью абсцисс, можно найти как интеграл от этой функции между соответствующими значениями x.

Фигура ограничена осью абсцисс, когда y = 0, поэтому нам нужно найти значения x, при которых y = 4 - x^2 = 0:

4 - x^2 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Таким образом, фигура ограничена от -2 до 2. Теперь мы можем найти площадь этой фигуры:

S = ∫[от -2 до 2] (4 - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [4x - (x^3)/3] от -2 до 2

S = [(42 - (2^3)/3) - (4(-2) - ((-2)^3)/3)]

S = [8 - (8/3) + 8 + (8/3)]

S = (16/3) + (16/3)

S = 32/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линией y = 4 - x^2 и осью абсцисс, равна 32/3.

б) Площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos(x), x = π/6 и x = π/3, также может быть найдена с помощью интеграла. Фигура ограничена вертикальными линиями x = π/6 и x = π/3, а также кривой y = cos(x).

S = ∫[от π/6 до π/3] cos(x) dx

Вычислим этот интеграл:

S = [sin(x)] от π/6 до π/3

S = [sin(π/3) - sin(π/6)]

sin(π/3) = √3/2 sin(π/6) = 1/2

S = (√3/2 - 1/2)

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = cos(x), x = π/6 и x = π/3, равна (√3/2 - 1/2).