Question

Решить неравенство 1/(x-3)*(x-4) + 1/(x-3)*(x-5) + 1/(x^2-9*x+20)=<1

Answer 1

...
1/(x-3)*(x-4) + 1/(x-3)*(x-5)+1/(x^2 - 5x-4x+20)<1
1/(x-3)*(x-4) + 1/(x-3)*(x-5)+ 1/(x*(x-5)-4*(x-5)) <1
1/(x-3)*(x-4) + 1/(x-3)*(x-5) + 1/ (x-5)(x-4) <1
( общим знаменателем будет (x-3)(x-4)(x-5), добавив долнительные множители, получим:)
((x-5)+(x-4)+(x-3)) / (x-3)(x-4)(x-5)<1
(3x-12) / (x-3)(x-4)(x-5) <1
3(x-4) / (x-3)(x-4)(x-5) <1
3/ (x-3)(x-5) <1
умножим части неравенства на (x-3)(x-5), получим:
3<(x-3)(x-5)
(раскрываем скобки и все переносим в одну сторону)
x^2 - 8x +15-3 <0
x^2 - 8x +12<0
(чтобы использовать формулу квадрата разности, заменим 12 на 16-4 и получим:)
x^2-8x +16-4 <0
(x-4)^2-4<0
(x-4)^2<4
/x-4/ </2/ (наклонные палочки должны быть вертикальными - это модуль)
Раскрывая модули, получаем
x-4 < 2                x-4 > 2
x < 6                  x > 6
Ответ: x ∈ (-≈;6) u (6;≈)

Answer 2

Давайте начнем с решения данного неравенства. Сначала упростим выражение:

1. Выразим общий знаменатель для всех трех дробей в левой части:

   $\frac{1}{(x-3)(x-4)} + \frac{1}{(x-3)(x-5)} + \frac{1}{x^2-9x+20} \leq 1$.

2. Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

   $\frac{(x-5)+(x-4)+(x-3)}{(x-3)(x-4)(x-5)} \leq 1$.

3. Сложим числители:

   $\frac{3x-12}{(x-3)(x-4)(x-5)} \leq 1$.

4. Упростим числитель:

   $\frac{3(x-4)}{(x-3)(x-4)(x-5)} \leq 1$.

5. Теперь можно сократить общий множитель в числителе и знаменателе:

   $\frac{3}{(x-3)(x-5)} \leq 1$.

6. Теперь перенесем 1 на правую сторону неравенства:

   $\frac{3}{(x-3)(x-5)} - 1 \leq 0$.

7. Найдем общий знаменатель и выразим дробь в виде общего знаменателя:

   $\frac{3- (x-3)(x-5)}{(x-3)(x-5)} \leq 0$.

8. Раскроем скобки в числителе:

   $\frac{3 - (x^2-8x+15)}{(x-3)(x-5)} \leq 0$.

9. Упростим числитель:

   $\frac{-x^2+8x-12}{(x-3)(x-5)} \leq 0$.

10. Теперь определим знак данной дроби для различных интервалов:

    • Знаменатель $(x-3)(x-5)$ равен нулю при $x=3$ и $x=5$, поэтому нужно рассмотреть интервалы между этими точками и снаружи их:

    • Для $x < 3$: Оба множителя $(x-3)$ и $(x-5)$ отрицательны, а значит, знак числителя $-x^2+8x-12$ будет положительным.

    • Для $3 < x < 5$: Множитель $(x-3)$ положителен, а $(x-5)$ отрицателен, поэтому числитель будет отрицательным.

    • Для $x > 5$: Оба множителя $(x-3)$ и $(x-5)$ положительны, а значит, знак числителя $-x^2+8x-12$ будет положительным.

11. Теперь учтем знак числителя в неравенстве:

    • Для $x < 3$: $\frac{-x^2+8x-12}{(x-3)(x-5)} \leq 0$ - Дробь отрицательна.

    • Для $3 < x < 5$: $\frac{-x^2+8x-12}{(x-3)(x-5)} \leq 0$ - Дробь положительна.

    • Для $x > 5$: $\frac{-x^2+8x-12}{(x-3)(x-5)} \leq 0$ - Дробь отрицательна.

Таким образом, неравенство $\frac{3}{(x-3)(x-5)} - 1 \leq 0$ выполняется на интервалах:

• $3 < x < 5$.

Таким образом, решение данного неравенства:

$3 < x < 5$.