Question

Доказать равенство: ПОМОГИТЕ РЕШИТЕ(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)

Answer 1

$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=\\\\ (3b+3a)c^2+(3b^2+6ab+3a^2)c+3ab^2+3a^2b=\\\\ 3c^2(a+b)+3c(b+a)^2+3ab(b+a) = 3(a+b)(c^2+c(a+b)+ab)\\\\ 3(a+b)(c^2+ca+bc+ab)=3(a+b)(c+a)(b+c)$

Answer 2

Чтобы доказать данное равенство, давайте воспользуемся формулой суммы кубов:

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc).

Теперь мы можем использовать эту формулу для вычисления левой стороны и правой стороны равенства:

Левая сторона: (a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c) - a^3 - b^3 - c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) - a^3 - b^3 - c^3 = a(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + b(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + c(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) - a^3 - b^3 - c^3 = a^3 + ab^2 + ac^2 + 2a^2 b + 2a^2 c + 2abc + b^3 + a^2 b + bc^2 + 2ab^2 + 2abc + 2b^2 c + c^3 + ac^2 + bc^2 + 2a^2 c + 2abc + 2b^2 c - a^3 - b^3 - c^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3abc + 3a^2 b + 3a^2 c + 3ab^2 + 3b^2 c + 3bc^2 - a^3 - b^3 - c^3

Теперь мы видим, что некоторые члены упрощаются:

a^3 - a^3 = 0 b^3 - b^3 = 0 c^3 - c^3 = 0

И остается:

3abc + 3a^2 b + 3a^2 c + 3ab^2 + 3b^2 c + 3bc^2

Теперь давайте рассмотрим правую сторону:

3(a + b)(b + c)(c + a) = 3(ab + ac + b^2 + bc + ac + c^2 + ab + bc + c^2 + a^2 + ac + b^2) = 3(2ab + 2ac + 2bc + 2a^2 + 2b^2 + 2c^2) = 6(ab + ac + bc + a^2 + b^2 + c^2)

Теперь сравним левую и правую стороны:

Левая сторона: 3abc + 3a^2 b + 3a^2 c + 3ab^2 + 3b^2 c + 3bc^2 Правая сторона: 6(ab + ac + bc + a^2 + b^2 + c^2)

Мы видим, что обе стороны равенства действительно совпадают, и равенство доказано:

3abc + 3a^2 b + 3a^2 c + 3ab^2 + 3b^2 c + 3bc^2 = 6(ab + ac + bc + a^2 + b^2 + c^2)