Question

Найдите первообразную функции y=2sinx+3cosx, которая при x=pi/3 принимает значение, равное 0

Answer 1

F(x)=-2cosx+3sinx+C
-2cosπ/3+3sinπ/3+C=0
C=2*1/2-3*√3/2=1-3√/3/2
F(x)=-2cosx+3sinx+1-3√3/2

Answer 2

Давайте найдем первообразную функции $y = 2\sin(x) + 3\cos(x)$.

Интегрируя функцию по частям, мы можем найти её первообразную:

$\int 2\sin(x) + 3\cos(x) \, dx$

Для интегрирования по частям используем следующую формулу:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Выберем:

$u = 2\sin(x) \quad \Rightarrow \quad du = 2\cos(x) \, dx$ $dv = 3\cos(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = 3\sin(x)$

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

$\int 2\sin(x) + 3\cos(x) \, dx = uv - \int v \, du$ $= 2\sin(x) \cdot 3\sin(x) - \int 3\sin(x) \cdot 2\cos(x) \, dx$ $= 6\sin(x)\cos(x) - 6\int \sin(x)\cos(x) \, dx$

Теперь воспользуемся тригонометрической подстановкой $u = \sin(x)$, $du = \cos(x) \, dx$:

$= 6\sin(x)\cos(x) - 6\int u \, du$ $= 6\sin(x)\cos(x) - 6\left(\frac{u^2}{2} + C\right)$ $= 6\sin(x)\cos(x) - 3u^2 + C$ $= 6\sin(x)\cos(x) - 3\sin^2(x) + C$

Теперь нам нужно найти значение постоянной $C$. У нас есть начальное условие $y(\pi/3) = 0$:

$0 = 6\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - 3\sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + C$

$0 = 3\sqrt{3} + C$

$C = -3\sqrt{3}$

Итак, первообразная функции $y = 2\sin(x) + 3\cos(x)$ с учетом начального условия равна:

$\int 2\sin(x) + 3\cos(x) \, dx = 6\sin(x)\cos(x) - 3\sin^2(x) - 3\sqrt{3} + C$