Question

Найдите наибольшее значение функции f(x)=50(0,5x-1)^2-(0,5x-1) при [x-3] меньше или равно 3

Answer 1

Область изменения |x-3|≤3
x-3>0  x-3≤3   x≤6
x-3<0   -(x-3)≤3   3-x≤3   x≥0
т.о. 0≤х≤6

f(x)=12,5x^2 - 50,5x + 51

f(x)=0  х1=50/25=2    х2=51/25=2,04

максимум при х=6
f(6)= 12,5*36 - 50,5*6 +51 = 450 - 303 + 51 = 198

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции f(x) в заданном интервале [x-3] ≤ 3, мы можем воспользоваться производной функции и методом экстремумов. Сначала найдем производную функции f(x):

f(x) = 50(0.5x - 1)^2 - (0.5x - 1)

f'(x) = 100(0.5x - 1)(0.5) - 0.5

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума:

0 = 100(0.5x - 1)(0.5) - 0.5

Упростим это уравнение:

0.25(0.5x - 1) = 0.5

0.125x - 0.25 = 0.5

0.125x = 0.5 + 0.25

0.125x = 0.75

x = 0.75 / 0.125

x = 6

Теперь у нас есть точка экстремума x = 6. Для того чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, давайте проведем вторую производную:

f''(x) = 100 * 0.25 = 25

Поскольку вторая производная положительна (f''(x) > 0), это означает, что у нас есть локальный минимум в точке x = 6.

Теперь остается проверить, попадает ли эта точка в интервал [x-3] ≤ 3. Подставим x = 6:

6 - 3 ≤ 3

3 ≤ 3

Условие выполняется, и x = 6 находится в интервале [x-3] ≤ 3.

Итак, наибольшее значение функции f(x) достигается в точке x = 6, и оно равно:

f(6) = 50(0.56 - 1)^2 - (0.56 - 1) = 50(3 - 1)^2 - (3 - 1) = 50(2^2) - 2 = 200 - 2 = 198