Question

Знайти найбільше та найменше значення функції на даному відрізку y=x²+8/x-1 [-3;0]

Answer 1

Ответ:

ОСЬ ↓

Найбільше значення функції на відрізку [-3;0] досягається при x=-3 і дорівнює (-3)²+8/(-3-1)=9+2=11.

Найменше значення функції на відрізку [-3;0] досягається при x=0 і дорівнює 0²+8/0-1, що не визначено.

(відміть як найкраще )

Answer 2

Щоб знайти найбільше та найменше значення функції $y = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$ на відрізку $[-3;0]$, спробуймо виконати наступні кроки:

1. Знайдемо похідну функції $y$ за $x$.

2. Знайдемо критичні точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

3. Визначимо значення функції $y$ в цих критичних точках та на границях відрізку $[-3;0]$.

4. Визначимо найбільше та найменше значення серед отриманих значень.

5. Знайдемо похідну функції $y$ за $x$:

$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 8}{x - 1}\right).$

Для обчислення похідної застосуємо правило диференціювання часткових дробів:

$y' = \frac{(x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 8) - (x^2 + 8) \cdot \frac{d}{dx}(x - 1)}{(x - 1)^2}.$

Розрахуємо похідні окремих компонентів:

$\frac{d}{dx}(x^2 + 8) = 2x,$ $\frac{d}{dx}(x - 1) = 1.$

Підставимо ці похідні назад у вираз для $y'$:

$y' = \frac{(x - 1) \cdot (2x) - (x^2 + 8) \cdot 1}{(x - 1)^2}.$

Зробимо спрощення:

$y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 8}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2}.$

2. Знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння $y' = 0$:

$\frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2} = 0.$

Ми бачимо, що знаменник не може дорівнювати нулю, тому ми повинні шукати корені чисельника:

$x^2 - 2x - 8 = 0.$

Розв'яжемо це квадратне рівняння:

$(x - 4)(x + 2) = 0.$

Звідси отримуємо дві критичні точки: $x = 4$ та $x = -2$.

3. Знайдемо значення функції $y$ в цих критичних точках та на границях відрізку $[-3;0]$:

a. $x = 4$:

$y(4) = \frac{4^2 + 8}{4 - 1} = \frac{16 + 8}{3} = \frac{24}{3} = 8.$

b. $x = -2$:

$y(-2) = \frac{(-2)^2 + 8}{-2 - 1} = \frac{4 + 8}{-3} = \frac{12}{-3} = -4.$

c. $x = -3$:

$y(-3) = \frac{(-3)^2 + 8}{-3 - 1} = \frac{9 + 8}{-4} = \frac{17}{-4} = -\frac{17}{4}.$