Question

При каких значениях х и у выражение (х-2у+1)²+ (х+2у-3)²+5 имеет наименьшее значение

Answer 1

X-2y+1=0
X+2y-3=0
2x=2
X=1
-4y=-4
Y=1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения $(x-2y+1)^2 + (x+2y-3)^2 + 5$, можно воспользоваться методом дифференциального исчисления. Для этого нужно найти частные производные по переменным $x$ и $y$, приравнять их к нулю и решить получившуюся систему уравнений.

Начнем с нахождения частных производных:

По $x$:

$$\frac{\partial}{\partial x} [(x-2y+1)^2 + (x+2y-3)^2 + 5] = 2(x-2y+1) + 2(x+2y-3) = 4x - 4y - 4.$$

По $y$:

$$\frac{\partial}{\partial y} [(x-2y+1)^2 + (x+2y-3)^2 + 5] = -4(x-2y+1) + 4(x+2y-3) = -4x + 4y + 4.$$

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим систему уравнений:

$$\begin{align*} 4x - 4y - 4 &= 0, \\ -4x + 4y + 4 &= 0. \end{align*}$$

Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от переменной $y$:

$$4x - 4y - 4 - 4x + 4y + 4 = 0 \implies 0 = 0.$$

Это уравнение не содержит переменных $x$ и $y$, и оно выполняется всегда. Это означает, что система не имеет уникального решения, и выражение достигает своего наименьшего значения при любых значениях $x$ и $y$.