Question

Помогите решить неравенство 3log_x-3(6-x)+1<=1/4log^2_x-3(x^2-9x+18)^2

Answer 1

ОДЗ:
x<6, x>3, x≠4

$3log_{x-3}(6-x)+1\leq{1\over4}log^2_{x-3}(x^2-9x+18)^2\\3log_{x-3}(6-x)+1\leq log^2_{x-3}(6-x)(x-3)\\log_{x-3}(6-x)=t\\3t+1\leq(t+1)^2\\t^2-t\geq0\\t\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)\\\\log_{x-3}(6-x)\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$

Возможны 2 случая в зависимости от того, больше основание логарифма, чем 1 или меньше:
$> Объединяем и пересекаем с ОДЗ: <img src=$

Answer 2

Давайте начнем с того, что упростим неравенство по частям. Затем мы сможем решить получившееся уравнение. Давайте разберемся с каждой частью неравенства:

Исходное неравенство: $3\log_x - 3(6-x) + 1 \leq \frac{1}{4}\log_x^2 - 3(x^2 - 9x + 18)^2.$

Шаг 1: Упростим левую часть неравенства: $3\log_x - 3(6-x) + 1 = 3\log_x - 18 + 3x + 1 = 3\log_x + 3x - 17.$

Шаг 2: Упростим правую часть неравенства: $\frac{1}{4}\log_x^2 - 3(x^2 - 9x + 18)^2 = \frac{1}{4}\log_x^2 - 3(x^4 - 18x^3 + 81x^2 - 324x + 324).$

Теперь у нас есть упрощенное неравенство: $3\log_x + 3x - 17 \leq \frac{1}{4}\log_x^2 - 3(x^4 - 18x^3 + 81x^2 - 324x + 324).$

Для решения неравенства давайте обозначим $y = \log_x$, тогда $\log_x^2 = y^2$. Подставим это обозначение в неравенство:

$3y + 3x - 17 \leq \frac{1}{4}y^2 - 3(x^4 - 18x^3 + 81x^2 - 324x + 324).$

Продолжим упрощение:

$3y + 3x - 17 \leq \frac{1}{4}y^2 - 3x^4 + 54x^3 - 243x^2 + 972x - 972.$

Перенесем все выражения влево:

$\frac{1}{4}y^2 - 3x^4 + 54x^3 - 246x^2 + 969x - 955 - 3y - 3x \geq 0.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $y$. Давайте его решим, приравняв его к нулю:

$\frac{1}{4}y^2 - 3y + 54x^3 - 249x^2 + 972x - 955 - 3x \geq 0.$

Таким образом, мы свели неравенство к задаче решения квадратного уравнения. Следующим шагом будет решение этого квадратного уравнения относительно $y$.