Question

Найдите сумму целых решений неравенства 2cos(pix/16)>=x^2-16x+66.

Answer 1

2cos (pi*x/16) >= x^2 - 16x + 66
Правая часть неравенства
x^2 - 16x + 66 = x^2 - 16x + 64 + 2 = (x - 8)^2 + 2
Эта парабола имеет минимум, равен 2 при x = 8.

Левая часть неравенства
cos(pi*x/16) имеет максимум, равный 1, поэтому это неравенство - на самом деле равенство, которое выполнено только при x = 8.

2cos(8pi/16) = (8 - 8)^2 + 2 = 2
cos(pi/2) = 1
Но это неправильно, значит, x = 8 не подходит.

Однако, при всех других x выражение справа имеет значение больше 2,
а выражение слева больше 2 быть никак не может.
Ответ: это неравенство решений не имеет. Вообще.

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим график функции $y = 2\cos\left(\frac{\pi x}{16}\right)$ и функции $y = x^2 - 16x + 66$, чтобы понять, где они пересекаются. Это поможет нам определить интервалы, на которых выполняется неравенство.

Заметим, что функция $y = 2\cos\left(\frac{\pi x}{16}\right)$ является периодической с периодом $T = 32$. Её максимальное значение равно $2$, а минимальное значение равно $-2$. Таким образом, график этой функции будет осциллировать между $y = 2$ и $y = -2$.

Анализируя функцию $y = x^2 - 16x + 66$, мы видим, что это парабола, которая открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Её вершина находится в точке $(8, 2)$, а значение $y$ увеличивается, когда мы двигаемся от вершины в обе стороны. Таким образом, график этой функции будет находиться выше $y = 2$ в интервалах между корнями.

Давайте найдем корни функции $x^2 - 16x + 66$, используя квадратное уравнение $x^2 - 16x + 66 = 0$:

$x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 264}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{8}}{2} = 8 \pm \sqrt{2}.$

Итак, корни равны $x = 8 + \sqrt{2}$ и $x = 8 - \sqrt{2}$.

Теперь мы видим, что график функции $y = x^2 - 16x + 66$ будет находиться выше графика функции $y = 2\cos\left(\frac{\pi x}{16}\right)$ в интервалах $(-\infty, 8 - \sqrt{2})$ и $(8 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Следовательно, сумма целых решений неравенства $2\cos\left(\frac{\pi x}{16}\right) \geq x^2 - 16x + 66$ равна сумме всех целых чисел, находящихся в интервалах $(-\infty, 8 - \sqrt{2})$ и $(8 + \sqrt{2}, +\infty)$.

Давайте округлим значения корней и найдем сумму целых чисел в указанных интервалах:

$\text{Сумма целых чисел до } 8 - \sqrt{2}:$ $8 - \sqrt{2} \approx 5.59.$ Следовательно, сумма целых чисел в интервале $(-\infty, 8 - \sqrt{2})$ равна $5$.

$\text{Сумма целых чисел после } 8 + \sqrt{2}:$ $8 + \sqrt{2} \approx 11.41.$ Следовательно, сумма целых чисел в интервале 0 0