Question

Найдите множество значений функции: y = 1 - 3tg^2 x Пожалуйста, решение распишите подробно! 40б

Answer 1

Область значений tg x -  $(-\infty; +\infty)$

tg^2 x -  $[0; +\infty)$

1 - tg^2 x -  $[1; +\infty)$

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию y = 1 - 3tg^2(x), где tg(x) обозначает тангенс угла x.

1. Вначале заметим, что тангенс угла определен для всех действительных значений x, за исключением углов (2k + 1)π/2, где k - целое число. Это происходит потому, что тангенс имеет вертикальные асимптоты в таких точках.

2. Мы также видим, что функция y = 1 - 3tg^2(x) всегда будет иметь значение 1 на вертикальных асимптотах тангенса (при значениях (2k + 1)π/2).

3. Чтобы найти множество значений функции на остальных участках, давайте проанализируем ее поведение. Функция y = 1 - 3tg^2(x) содержит квадрат тангенса, который всегда неотрицателен. Таким образом, минимальное значение этой функции равно 1 - 3 * 0^2 = 1.

4. Поскольку квадрат тангенса всегда положителен или равен нулю, функция y = 1 - 3tg^2(x) будет уменьшаться с увеличением значения tg^2(x). Это означает, что максимальное значение функции будет достигаться на интервалах между вертикальными асимптотами.

5. Исходя из вышесказанного, максимальное значение функции будет равно 1, так как это значение достигается на интервалах между вертикальными асимптотами, где tg^2(x) находится в пределах от 0 до 1.

6. Таким образом, множество значений функции y = 1 - 3tg^2(x) будет от 1 до 1, то есть {1}.

Итак, множество значений функции y = 1 - 3tg^2(x) - это всего одно число: {1}.