Question

Д-ть что (3 в 9 степени минус 5 в 3 степени)кратно 22

Answer 1

Ответ...... 67​1011364

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Нам нужно доказать, что выражение $3^9 - 5^3$ кратно 22. Чтобы доказать это, нам нужно показать, что разность $3^9 - 5^3$ делится нацело на 22, то есть, остаток от деления этой разности на 22 равен нулю.

Мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая гласит, что если $p$ - простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$, где $\equiv$ обозначает "сравнимость по модулю".

В данном случае, $p = 11$ (простой делитель 22), поэтому малая теорема Ферма говорит нам, что $a^{10} \equiv 1 \pmod{11}$, если $a$ не делится на 11.

Рассмотрим выражение $3^9 - 5^3$. Заметим, что $3^9$ не делится на 11 (поскольку 3 не делится на 11), и $5^3$ также не делится на 11 (поскольку 5 не делится на 11).

Теперь мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма: $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$

Следовательно, $3^9 \equiv 3^{-1} \pmod{11}$ $5^3 \equiv 5^1 \pmod{11}$

Имеем: $3^9 - 5^3 \equiv 3^{-1} - 5^1 \pmod{11}$

Поскольку мы работаем в остатках по модулю 11, $3^{-1}$ означает обратное к 3 по модулю 11. В данном случае, $3 \cdot 4 \equiv 1 \pmod{11}$, следовательно, $3^{-1} \equiv 4 \pmod{11}$.

Таким образом, $3^9 - 5^3 \equiv 4 - 5 \equiv -1 \equiv 10 \pmod{11}$

Мы видим, что результат равен 10, а не 0. Это означает, что $3^9 - 5^3$ не делится на 11 (остаток от деления не равен 0), и, следовательно, оно также не делится на 22.

Таким образом, $3^9 - 5^3$ не кратно 22.