Question

Решите неравенства с помощью графика соответствующей квадратичной функции: 1) -x²-3x+4≤0 2) -x²+3x-2≥0

Answer 1

1) -x²-3x+4≤0
x∈(-∞;-4]U[1;+∞)
2) -x²+3x-2≥0
x∈[1;2]

Answer 2

Для решения этих неравенств с помощью графика квадратичной функции, нам нужно сначала построить графики функций, соответствующих данным неравенствам.

1. Начнем с неравенства: -x² - 3x + 4 ≤ 0

Перепишем его в стандартной форме квадратичной функции: -x² - 3x + 4 = 0

Сначала найдем вершину параболы, которая задана уравнением y = -x² - 3x + 4. Вершина параболы находится по формуле x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты квадратичной функции.

В данном случае, a = -1, b = -3: x = -(-3) / (2 * -1) = 3 / -2 = -1.5

Подставим это значение x обратно в уравнение параболы, чтобы найти соответствующее значение y: y = -(-1.5)² - 3 * (-1.5) + 4 = -2.25 + 4.5 + 4 = 6.25

Теперь у нас есть вершина параболы: (-1.5, 6.25).

График параболы будет выглядеть как "вверх" и открываться вверх из вершины.

2. Перейдем ко второму неравенству: -x² + 3x - 2 ≥ 0

Снова перепишем его в стандартной форме: -x² + 3x - 2 = 0

Найдем вершину параболы для уравнения y = -x² + 3x - 2. Коэффициенты a и b: a = -1, b = 3. Вершина: x = -b / (2a) = -3 / (2 * -1) = 3 / 2 = 1.5

Подставим значение x обратно в уравнение параболы: y = -1.5² + 3 * 1.5 - 2 = -2.25 + 4.5 - 2 = 0.25

Вершина параболы: (1.5, 0.25).

График параболы открывается "вниз" и имеет вершину в точке (1.5, 0.25).

Теперь, чтобы решить неравенства, мы должны определить интервалы, на которых функция меньше или больше нуля.

1. Для неравенства -x² - 3x + 4 ≤ 0, парабола "вверх" и ниже нуля на интервалах влево и вправо от вершины (-1.5, 6.25). То есть, решение этого неравенства: -1.5 - ∞ ≤ x ≤ ∞.

2. Для неравенства -x² + 3x - 2 ≥ 0, парабола "вниз" и выше нуля на интервалах внутри двух корней параболы. Корни можно найти, решив уравнение -x² + 3x - 2 = 0. Получим корни x = 2 и x = -1. Парабола положительна вне этих корней. Таким образом, решение неравенства: -1 ≤ x ≤ 2.

Итак, решения неравенств:

1. -1.5 ≤ x ≤ ∞
2. -1 ≤ x ≤ 2