Question

Найдите производную функции y=4√2x³+8 y=tg²x/2

Answer 1

$y_1=4 \sqrt{2x^3+8} \\y'= \frac{4}{2 \sqrt{2x^3+8} } *(2x^3+8)'\\y'=\frac{12x^2}{ \sqrt{2x^3+8} } \\y=\frac{tg^2(x)}{2} \\y'=\frac{(tg^2(x))'*2-tg^2(x)(2)'}{4} \\y'=\frac{(tg^2(x))'*2}{4} \\y=tg^2(x)\\y'=2tg(x)*tg^{'}(x)\\\\ y'=\frac{2tg(x)}{cos^2(x)} \\y'=(\frac{2tg(x)}{cos^2(x)} ):2\\y'=\frac{tg(x)}{cos^2(x)}$

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, используем правила дифференцирования:

1. Для функции y = 4√(2x³ + 8): Для начала, заметим, что 4√(2x³ + 8) можно записать в виде 4(2x³ + 8)^(1/2). Теперь можем применить правило дифференцирования сложной функции.

dy/dx = d/dx [4(2x³ + 8)^(1/2)].

По правилу дифференцирования сложной функции, если у нас есть функция вида u(g(x)) и нужно найти производную этой функции, то производная выражается как произведение производной внешней функции (u'(g(x))) и производной внутренней функции (g'(x)).

Положим u(x) = 4x^(1/2) и g(x) = 2x³ + 8. Тогда:

u'(x) = (1/2) * 4x^(-1/2) = 2/x^(1/2), g'(x) = 6x².

Теперь можем найти производную:

dy/dx = u'(g(x)) * g'(x) = 2/(2x^(1/2)) * 6x² = 6x²/x^(1/2) = 6x^(2 - 1) = 6x.

Таким образом, производная функции y = 4√(2x³ + 8) равна dy/dx = 6x.

2. Для функции y = tg²(x/2): Для нахождения производной этой функции, используем правило дифференцирования функции y = tan²(x):

dy/dx = d/dx [tan²(x)].

По свойству производной квадрата функции, dy/dx = 2 * tan(x) * sec²(x).

Однако, у нас есть функция tg²(x/2), а не tg²(x). Для этого применим цепное правило (chain rule).

Пусть u(x) = tg(x), а g(x) = x/2. Тогда:

dy/dx = dy/du * du/dx = (2 * tan(x) * sec²(x)) * (1/2) = tan(x) * sec²(x).

Таким образом, производная функции y = tg²(x/2) равна dy/dx = tan(x) * sec²(x).