Question

Решите lim при n к бесконечности ((2x+1)²-1)) /(x²+x)

Answer 1

$\lim_{x\to \infty}\frac{(2x+1)^2-1}{x^2+x}=\lim_{x\to \infty}\frac{4x^2+4x+1-1}{x^2+x}=\\\\ =\lim_{x\to \infty}\frac{4x^2+4x}{x^2+x}=\lim_{x\to \infty}\frac{4(x^2+x)}{x^2+x}=\\\\ =4*\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+x}{x^2+x}=4*\lim_{x\to \infty}\frac{(x^2+x)*\frac{1}{x^2}}{(x^2+x)*\frac{1}{x^2}}=\\\\ =4*\lim_{x\to \infty}\frac{x^2*\frac{1}{x^2}+x*\frac{1}{x^2}}{x^2*\frac{1}{x^2}+x*\frac{1}{x^2}}=4*\lim_{x\to \infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\\\\ =4*\frac{1+0}{1+0}=4*1=4$

Answer 2

Для решения данного предела при n стремящемся к бесконечности, мы должны подставить бесконечность вместо n и вычислить предел:

lim (2x+1)² / (x²+x)

При подстановке бесконечности, некоторые выражения в числителе и знаменателе становятся бесконечными, и нам нужно найти предел отношения двух бесконечностей. Для этого применим правило Лопиталя, которое позволяет найти предел отношения производных числителя и знаменателя при предельном значении.

Правило Лопиталя гласит, что если lim f(x) / g(x) при x стремящемся к a имеет форму неопределенности "бесконечность/бесконечность" или "0/0", то предел этой функции равен пределу отношения производных функций f'(x) / g'(x) при том же предельном значении.

В нашем случае f(x) = (2x+1)² - 1 и g(x) = x² + x.

Найдем производные функций f'(x) и g'(x):

f'(x) = 2 * (2x+1) * 2 = 4(2x+1), g'(x) = 2x + 1.

Теперь найдем предел отношения производных:

lim (4(2x+1)) / (2x + 1) при x стремящемся к бесконечности.

Теперь, когда x стремится к бесконечности, мы видим, что в числителе и знаменателе есть бесконечность, и мы можем сократить (2x + 1):

lim 4 при x стремящемся к бесконечности.

Таким образом, предел исходного выражения равен 4 при x стремящемся к бесконечности:

lim ((2x+1)² - 1) / (x² + x) = 4.