Question

Решите пожалуйста примеры с подробным решением: 1) lim x->бесконечности 3sinx/x cos x= 2) lim x->бесконечности (1+5/x)^x= 3) lim x->бесконечности ((x+2)/x))^2x 4) lim x -> (1+(2/3x))^3x

Answer 1

1) Не совсем понятно cosx умножается на всю дробь или только на икс.
В первом случае будет ноль, т.к. синус и косинус функции периодические, их произведение изменяется не более, чем от плюс до минус единицы. А Всё делится на бесконечность. Второй случай сложнее, периодически встречаются бесконечные разрывы, тогда предел будет плюс или минус бесконечность.

2) $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{5}{x} ) ^{x}$
Сделаем замену t=5/x, тогда t→0 и x=5/t
$\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{5}{t} } = \lim_{t \to \inft0} ((1+t) ^{ \frac{1}{t}}) ^{5} =( \lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{1}{t} } ) ^{5} = e^{5}$
Использован второй замечательный предел: $\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{1}{t} } =e$

3) $\lim_{x \to \infty} ( \frac{x+2}{x}) ^{2x} =\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{2}{x} ) ^{2x}$
Сделаем замену t=2/x, тогда t→0 и x=2/t
$\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ 2*\frac{2}{t} } =(\lim_{t \to \inft0} (1+t) ^{ \frac{1}{t} } ) ^{4} = e^{4}$

4) $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{2}{3x} ) ^{3x}$
Сделаем замену t=2/(3x), тогда t→0 и x=2/(3t)
$\lim_{t \to \inft0} (1+ t} ) ^{3 \frac{2}{3t}} =\lim_{t \to \inft0} (1+ t} ) ^{ \frac{2}{t}}=(\lim_{t \to \inft0} (1+ t} ) ^{ \frac{1}{t}}) ^{2} = e^{2}$

Т.о. везде делаются преобразования, чтобы использовать второй замечательный предел.

Answer 2

Привет! Я могу помочь решить эти примеры. Давай рассмотрим их по очереди.

Пример 1:

Нам нужно найти предел функции: lim(x->бесконечности) (3sinx/x + cosx)

Для начала, давайте посмотрим на каждое слагаемое в отдельности.

1. Рассмотрим слагаемое 3sinx/x. Мы можем заметить, что при x -> бесконечности, sinx/x будет стремиться к 0, так как синус ограничен между -1 и 1, а x будет увеличиваться до бесконечности. Таким образом, предел этого слагаемого будет равен 3 * 0 = 0.

2. Теперь рассмотрим слагаемое cosx. При x -> бесконечности, cosx будет осциллировать между -1 и 1, но не будет иметь определенного предела.

Итак, чтобы найти предел функции, мы должны сложить пределы каждого слагаемого. В данном случае, предел синуса равен 0, а предел косинуса не определен. Поэтому предел функции будет неопределен.

Пример 2:

Теперь рассмотрим второй пример: lim(x->бесконечности) (1 + 5/x)^x

Мы можем заметить, что это выражение имеет вид (1 + a/x)^x, где a = 5. Если мы рассмотрим предел этого выражения при x -> бесконечности, мы получим известное число e (основание натурального логарифма). Таким образом, предел этой функции будет равен e^a.

В данном случае, a = 5, поэтому предел функции будет равен e^5.

Пример 3:

Теперь рассмотрим третий пример: lim(x->бесконечности) ((x + 2)/x)^2x

Для начала, давайте приведем это выражение к более удобному виду. Мы можем заметить, что ((x + 2)/x)^2x = ((1 + 2/x)^x)^2.

Мы уже знаем, что предел (1 + a/x)^x при x -> бесконечности равен e^a. В данном случае, a = 2, поэтому предел внутренней скобки будет равен e^2.

Теперь, чтобы найти предел всего выражения, мы возведем e^2 в квадрат. Таким образом, предел функции будет равен (e^2)^2 = e^4.

Пример 4:

И, наконец, рассмотрим четвертый пример: lim(x->бесконечности) (1 + (2/3x))^3x

Мы можем заметить, что это выражение имеет вид (1 + a/x)^bx, где a = 2 и b = 3. Если мы рассмотрим предел этого выражения при x -> бесконечности, мы получим число e^ab.

В данном случае, a = 2 и b = 3, поэтому предел функции будет равен e^(2*3) = e^6.

Таким образом, мы решили все четыре примера и получили следующие ответы:

1) Предел функции равен неопределен.

2) Предел функции равен e^5.

3) Предел функции равен e^4.

4) Предел функции равен e^6.

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.