Question

Lim (x стремится к бесконечности) (1+3/x)^4x

Answer 1

Примени второй замечательный предел, и получится так...

Answer 2

Для того чтобы вычислить предел данной функции при x стремящемся к бесконечности, мы можем воспользоваться правилом предела степенной функции и правилом предела композиции функций.

Исходная функция: f(x) = (1 + 3/x)^(4x)

Для начала преобразуем функцию, чтобы получить более удобную форму:

f(x) = [(1 + 3/x)^(x/(3/x))]^(4x) = [(1 + 3/x)^(x^2/3)]^(4x)

Теперь применим пределы по частям:

1. Вычислим предел внутренней функции (1 + 3/x)^(x^2/3) при x стремящемся к бесконечности:

lim (x -> ∞) (1 + 3/x)^(x^2/3)

Здесь мы имеем неопределенность вида "бесконечность в степени ноль". Для разрешения этой неопределенности, применим правило Лопиталя:

lim (x -> ∞) (1 + 3/x)^(x^2/3) = exp[lim (x -> ∞) (x^2/3) * ln(1 + 3/x)]

Теперь заметим, что lim (x -> ∞) (x^2/3) = ∞ / 3 = ∞, а также lim (x -> ∞) (3/x) = 0. Поэтому можно продолжить:

lim (x -> ∞) (1 + 3/x)^(x^2/3) = exp[∞ * ln(1)] = exp(∞) = бесконечность.

2. Теперь рассмотрим предел функции f(x) = [(1 + 3/x)^(x^2/3)]^(4x) при x стремящемся к бесконечности:

lim (x -> ∞) [(1 + 3/x)^(x^2/3)]^(4x)

Так как предел внутренней функции равен бесконечности, а степень, в которую она возведена, также стремится к бесконечности (4x), то искомый предел будет:

lim (x -> ∞) [(1 + 3/x)^(x^2/3)]^(4x) = бесконечность.

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен бесконечности.