Question

Исследовать график функции на наличие асимптот f(x)=xe^{-x}

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для исследования графика функции на наличие асимптоты, нам необходимо проанализировать поведение функции при достаточно больших и малых значениях аргумента.

Функция f(x) = x * e^(-x) имеет следующий вид: f(x) = x * e^(-x) = x / e^(x)

1. Горизонтальные асимптоты: Для определения горизонтальных асимптот, необходимо проанализировать, как функция ведет себя при стремлении аргумента x к плюс или минус бесконечности.

При x -> +∞: f(x) = x / e^x -> ∞ / ∞ (при хотя бы одной из функций числитель и знаменатель стремится к бесконечности) Воспользуемся правилом Лопиталя для вычисления пределов типа ∞ / ∞: lim(x -> +∞) x / e^x = lim(x -> +∞) 1 / e^x = 0 Таким образом, горизонтальная асимптота y = 0 при x -> +∞.

При x -> -∞: f(x) = x / e^x -> -∞ / 0 (при хотя бы одной из функций числитель и знаменатель стремится к бесконечности и 0 соответственно) Воспользуемся правилом Лопиталя для вычисления пределов типа -∞ / 0: lim(x -> -∞) x / e^x = lim(x -> -∞) 1 / e^x = 0 Таким образом, горизонтальная асимптота y = 0 при x -> -∞.

2. Наклонные асимптоты: Чтобы определить наличие наклонных асимптот, необходимо рассмотреть предел функции при стремлении аргумента x к бесконечности.

При x -> +∞ или x -> -∞: Мы можем вычислить предел функции f(x) = x / e^x при x -> ±∞, используя правило Лопиталя для пределов типа ∞ / ∞: lim(x -> ±∞) x / e^x = lim(x -> ±∞) 1 / e^x = 0

Таким образом, у функции f(x) = x * e^(-x) есть две асимптоты:

• Горизонтальная асимптота y = 0 при x -> ±∞.
• Наклонная асимптота y = 0 при x -> ±∞.

На графике функции это будет проявляться так, что функция будет стремиться к оси x при увеличении или уменьшении значения x, и будет "прилипать" к оси x по мере удаления от начала координат.

Для визуализации этого поведения, рекомендуется построить график функции с помощью графического инструмента или программы для построения графиков.