Question

Знайти критичні точки функції (x^2-3x)/(x-4)

Answer 1

Решение во вложении. Успехов в алгебре!

Answer 2

Для знаходження критичних точок функції необхідно спершу знайти похідну функції та знайти значення x, при яких похідна дорівнює нулю або не існує. Критичні точки є ті, в яких похідна дорівнює нулю або не визначена.

Дана функція: $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}$

Щоб знайти похідну функції $f'(x)$, використаємо правило диференціювання дробової функції (квоцієнт диференціалів):

$f'(x) = \frac{(x - 4) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 3x) - (x^2 - 3x) \cdot \frac{d}{dx}(x - 4)}{(x - 4)^2}$

Розрахуємо похідну $\frac{d}{dx}(x^2 - 3x)$ та $\frac{d}{dx}(x - 4)$:

$\frac{d}{dx}(x^2 - 3x) = 2x - 3$

$\frac{d}{dx}(x - 4) = 1$

Підставимо ці значення у вираз для $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{(x - 4) \cdot (2x - 3) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2}$

Спростимо вираз:

$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x - 3x + 12 - x^2 + 3x}{(x - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}$

Тепер знайдемо значення x, при яких $f'(x) = 0$:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Для розв'язання цього квадратного рівняння, можемо скористатися квадратними формулами:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

де у нашому випадку $a = 1$, $b = -8$ та $c = 12$:

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 4}{2}$

Отримаємо два розв'язки:

1. $x = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$
2. $x = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Тепер перевіримо, чи існують критичні точки функції у значеннях $x = 6$ та $x = 2$ або чи існують точки, в яких по