Question

Помогите решить пожалуйста: Номер1: Докажите, что при любом натуральном значении n число n^2 +3n+2 является составным. Номер2: Найдите все простые числа p и q такие, что 13p+5q=100. Дам 200 баллов

Answer 1

1)
То что число составное (не простое) следует из n^2+3n+2=(n+2)(n+1) так как n>0 то два множителя отличаются от 1.
2)
13p+5q=100
q=20-(13p/5)
Так как p,q простые , то подходит только p=5 откуда q=7.

Answer 2

Номер 1: Для доказательства утверждения, что при любом натуральном значении n число n^2 + 3n + 2 является составным, нужно показать, что оно делится на число, отличное от 1 и самого себя.

Мы можем выразить данное число в виде полинома и попробовать его разложить на множители:

n^2 + 3n + 2 = n^2 + 2n + n + 2 = (n^2 + 2n) + (n + 2) = n(n + 2) + (n + 2) = (n + 2)(n + 1)

Таким образом, мы получили разложение числа n^2 + 3n + 2 на множители: (n + 2) и (n + 1). При этом, для всех натуральных n, оба множителя (n + 2) и (n + 1) будут больше 1 (так как n ≥ 1), что означает, что число n^2 + 3n + 2 всегда будет иметь делители, отличные от 1 и самого себя.

Таким образом, число n^2 + 3n + 2 является составным для любого натурального n.

Номер 2: Для нахождения всех простых чисел p и q, удовлетворяющих уравнению 13p + 5q = 100, можно использовать перебор возможных значений.

Одно из них можно найти следующим образом:

1. Выразим p через q из уравнения: 13p + 5q = 100 13p = 100 - 5q p = (100 - 5q) / 13

2. Поскольку p и q должны быть натуральными числами, то 100 - 5q должно быть кратно 13. Найдем все возможные значения q, удовлетворяющие этому условию: 100 - 5q = 13k, где k - некоторое натуральное число. 5q = 100 - 13k q = (100 - 13k) / 5

3. Теперь переберем возможные значения k, чтобы найти соответствующие q и p: Подходящие значения k: k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

   При k = 1: q = (100 - 13) / 5 = 87 / 5 (не является натуральным числом) При k = 2: q = (100 - 26) / 5 = 74 / 5 (не является натуральным числом) При k = 3: q = (100 - 39) / 5 = 61 / 5 (не является натуральным числом) При k = 4: q = (100 - 52) / 5 = 48 / 5 (не является натуральным числом) При k = 5: q = (100 - 65) / 5 = 35 / 5 = 7 Тогда p = (100 - 5 * 7) / 13 = 65 / 13 = 5

Таким образом, получаем единственное решение уравнения: p = 5, q = 7.

Ответ: простые числа p и q, удовлетворяющие уравнению 13p + 5q = 100, равны 5 и 7 соответственно.