Question

Найти промежуток монотонности функции а)f(x)=3x³-6x+1 б)f(x)=24x³3x²-3x+7

Answer 1

При f'(x)>0 функция монотонно возрастает
при f'(x)<0 функция монотонно убывает

a)
$f(x)=3x^3-6x+1 \\ f'(x)=9x^2-6 \\ \\ 9x^2-6\ \textgreater \ 0 \\ (x- \frac{ \sqrt{6} }{3} )(x+ \frac{ \sqrt{6} }{3})\ \textgreater \ 0 \\ \\ x \in (-\infty;- \frac{ \sqrt{6} }{3} ) \cup ( \frac{ \sqrt{6} }{3} ;+\infty)$
возрастает 

убывает:
$x \in (- \frac{ \sqrt{6} }{3} ; \frac{ \sqrt{6} }{3} )$

б)
$y=24x^3-3x^2-3x+7 \\ y'=72x^2-6x-3 \\ \\ 72x^2-6x-3=0 \\ D=36+864=900=30^2 \\ x_1=(6+30)/144 = \frac{36}{144 } = \frac{1}{4} \\ \\ x_2=(6-30)/144=- \frac{1}{6}$
возрастает:
$x \in (-\infty;- \frac{1}{6} ) \cup ( \frac{1}{4} ;+\infty)$

убывает:
$x \in (- \frac{1}{6} ; \frac{1}{4} )$

Answer 2

Чтобы найти промежуток монотонности функции, нужно найти ее производную и проанализировать знак производной на различных интервалах. Если производная положительна на интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале.

а) Функция: f(x) = 3x³ - 6x + 1 Производная функции f(x): f'(x) = d/dx (3x³ - 6x + 1) = 9x² - 6

Теперь найдем точки, где производная равна нулю и определим знак производной на интервалах между ними.

9x² - 6 = 0 9x² = 6 x² = 6/9 x² = 2/3 x = ±√(2/3)

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = √(2/3) и x = -√(2/3).

Проверим знак производной на интервалах:

1. При x < -√(2/3): Подставим x = -1 (возьмем значение меньше -√(2/3)): f'(-1) = 9(-1)² - 6 = 9 - 6 = 3 (положительно)

2. При -√(2/3) < x < √(2/3): Подставим x = 0 (возьмем значение между -√(2/3) и √(2/3)): f'(0) = 9(0)² - 6 = -6 (отрицательно)

3. При x > √(2/3): Подставим x = 1 (возьмем значение больше √(2/3)): f'(1) = 9(1)² - 6 = 9 - 6 = 3 (положительно)

Итак, функция f(x) монотонно возрастает на промежутках: (-∞, -√(2/3)) и (√(2/3), +∞), и монотонно убывает на промежутке: (-√(2/3), √(2/3)).

б) Функция: f(x) = 24x³ + 3x² - 3x + 7 Производная функции f(x): f'(x) = d/dx (24x³ + 3x² - 3x + 7) = 72x² + 6x - 3

Теперь найдем точки, где производная равна нулю и определим знак производной на интервалах между ними.

72x² + 6x - 3 = 0

Мы можем разделить уравнение на 3, чтобы упростить вычисления:

24x² + 2x - 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным уравнением или графически. Если вычислить, то получим два значения для x.

x ≈ 0.483 или x ≈ -0.816

Теперь проверим знак производной на интервалах:

1. При x < -0.816: Подставим x = -1 (возьмем значение меньше -0.816): f'(-1) = 72(-1)² + 6(-1) - 3 = 72 - 6 - 3 = 63 (положительно)

2. При -0.816 < x < 0.483: Подставим x = 0 (возьмем значение между -0.816 и 0.483): f'(0) = 72(0)² + 6(0) - 3 = -3 (отрицательно)

3. При x > 0.483: Подставим x = 1 (возьмем значение больше 0.483): f'(1) = 72(1)² + 6(1) - 3 = 72 + 6 - 3 = 75 (положительно)

Итак, функция f(x) монотонно убывает на промежутке: (-∞, -0.816), и монотонно возрастает на промежутках: (-0.816, 0.483) и (0.483, +∞).