Question

Исследуйте свойства функции с помощью производной и постройте схематически её график. Используйте не полный алгоритм исследования функции. (1. Найти область определения .2. Найти точки пересечения с осями координат. 3.Найти интервалы монотонности функции. 4. Найти точки экстремума. 5. Найти интервалы выпуклости-вогнутости функции. 6. Найти точки перегиба. 7. Построить схематический график функции.) Для удобного построения масштаб можно взять 2 клетки. * Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:Отметь как лучший ответ))))

Объяснение:

1) Найти область определения функции; 

Ограничений нет - х ∈ R (знаменатель не может быть равен нулю).

2) Исследовать функцию на непрерывность; 

Непрерывна, так как нет точек разрыва функции.

3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; 

f(-x) = ((-x)-3)²/((-x)² +9) = (x+3)²/(x² +9) ≠ f(-x) ≠ -f(-x).

 Функция не чётная и не нечётная.

4) Найти интервалы функции и точки её экстремума ; 

Находим производную функции.

y' = 6(x-3)(х+3)/(x² + 9)².

Приравняв её нулю (достаточно только числитель), имеем 2 корня:

х = 3 и х = -3.

Имеем 3 промежутка (-∞; -3), (-3; 3) и (3; ∞).

Находим знаки производной на этих промежутках.

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x =      -4        -3              0             3                4

y' = 0,0672      0        -0,66667       0          0,0672.

Отсюда получаем:

Функция возрастает на промежутках  (-∞; -3), (3; +∞) и убывает на промежутке (-3; 3)

Экстремумов  два:

 - максимум в точке х = -3,

 - минимум в точке  х = 3.

5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; 

Находим вторую производную.

y'' = -12х(x² - 27)/(x² + 9)³.

Приравняв нулю, имеем 3 точки перегиба:

х = 0, х = √27 = 3√3 и х = -3√3.

6) Найти асимптоты графика функции.

Асимптота есть одна горизонтальная у =1.

График функции, таблица точек для его построения приведены в приложении.

Answer 2

Конечно, давайте предположим, что у нас есть функция f(x), и проведем исследование функции по шагам. Допустим, функция f(x) задана следующим образом:

$f(x) = x^3 - 4x^2 - 3x + 2$

Шаг 1: Область определения Функция $f(x)$ определена на всей числовой прямой, так как у неё нет ограничений или исключений в определении.

Шаг 2: Точки пересечения с осями координат Для найти точки пересечения с осями координат, подставим $x = 0$ для оси y и $y = 0$ для оси x:

1. По оси y: $f(0) = 0^3 - 4 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$, точка пересечения: (0, 2).
2. По оси x: $f(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 4x^2 - 3x + 2 = 0$, для нахождения корней можно использовать численные методы или аналитические способы, такие как рациональные корни теоремы.

Шаг 3: Интервалы монотонности функции Для определения интервалов монотонности возьмем производную функции и найдем её нули:

$f'(x) = 3x^2 - 8x - 3$

Решим $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек.

Шаг 4: Точки экстремума Найденные критические точки будут потенциальными точками экстремума. Для определения их характера (максимум или минимум) можно использовать вторую производную тест или информацию о знаке первой производной в окрестности критических точек.

Шаг 5: Интервалы выпуклости-вогнутости функции Для определения интервалов выпуклости и вогнутости можно использовать вторую производную функции. Если $f''(x) > 0$, то функция выпуклая, если $f''(x) < 0$, то функция вогнутая.

Шаг 6: Точки перегиба Точки перегиба находятся в тех точках, где меняется выпуклость функции. Они соответствуют точкам, в которых вторая производная $f''(x)$ обращается в ноль или не существует.

Шаг 7: Построение графика функции Соберите всю полученную информацию и постройте схематический график функции, учитывая основные характеристики, такие как точки пересечения с осями, экстремумы, интервалы монотонности, выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба.

Пожалуйста, обратите внимание, что вам потребуется провести вычисления и анализ численно, чтобы получить точные значения и интервалы для каждого шага.