Question

найти все значения а при каждом из которых система уравнений х*4 - у*4 = 12а - 28 , х*2 + у*2 = а имеет ровно 4 решения»

Answer 1

X^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=12a-28
Так как x^2+y^2=a , откуда
a=/=0
{x^2-y^2=12-(28/a)
{x^2+y^2=a
Суммировав
x^2=(a^2+12a-28)/(2a)
Значит при
(a^2+12a-28)/(2a)>0
Уравнение будет иметь 4 решения
(a-2)(a+14)/(2a)>0
Откуда ответ
a (-14,0) U (2,+oo)

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела ровно 4 решения, необходимо, чтобы уравнения квадратные и их графики пересекались в 4 точках. У нас есть два уравнения:

1. x^4 - y^4 = 12a - 28
2. x^2 + y^2 = a

Первое уравнение представляет собой разность двух квадратов, и мы можем его переписать так:

(x^2)^2 - (y^2)^2 = 12a - 28

Теперь мы видим, что это также разность двух квадратов. Преобразуем его:

(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 12a - 28

Заметим, что второе уравнение совпадает с вторым множителем. Поэтому мы можем подставить его значение из второго уравнения:

(x^2 - y^2) * a = 12a - 28

Теперь давайте рассмотрим два случая:

1. a ≠ 0:

Тогда мы можем сократить a на обеих сторонах уравнения:

x^2 - y^2 = 12 - 28/a

Данное уравнение представляет собой разность двух квадратов. При таком условии у нас получается гипербола, которая имеет две ветви, пересекающиеся в 4 точках.

2. a = 0:

Если a = 0, то второе уравнение становится 0 = -28, что невозможно, так как число не может быть одновременно равно и не равно -28.

Таким образом, система уравнений имеет ровно 4 решения для всех значений a, за исключением a = 0. Важно отметить, что второе уравнение является кругом радиуса sqrt(a), а первое уравнение гиперболой с центром в начале координат (0, 0). При a = 0 гипербола дегенерирует в две пересекающиеся прямые x = ±sqrt(3), и они пересекаются с кругом в 4 точках.