Question

Тема. Розв'язування систем рівнянь. Властивості функцій. Розв'язати рівняння: 1)x^4 - 24x^2 - 25 = 0; 2) x^4 - 7x^2 + 10 = 0.

Answer 1

1) x⁴ - 24x² - 25 = 0

Пусть x² = t, t > 0

Тогда:

t² - 24t - 25 = 0

D = 24² - 4*(-25) = 676 = 26²

t₁ = (24 + 26)/2 = 50/2 = 25

t₂ = (24 - 26)/2 = -2/2 = -1 -- не удовл.

x² = 25

x = +- 5

Ответ: +-5.

2) x⁴ - 7x² + 10 = 0

Пусть x² = t, t > 0.

Тогда:

t² - 7t + 10 = 0

D = 7² - 4*10 = 49 - 40 = 9 = 3²

t₁ = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5

t₂ = (7 - 3)/2 = 4/2 = 2

x² = 5

x = +-√5

x² = 2

x = +-√2

Ответ: +-√5; +-√2.

Answer 2

Для розв'язання цих рівнянь ми можемо застосувати підстановку, щоб скоротити його до квадратного рівняння зі змінною, наприклад, x^2.

1. x^4 - 24x^2 - 25 = 0:

Давайте зробимо підстановку: x^2 = t.

Тоді рівняння стане: t^2 - 24t - 25 = 0.

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою факторизації або квадратного кореня.

Факторизуємо: (t - 25)(t + 1) = 0.

Таким чином, ми отримали два значення для t: t = 25 та t = -1.

Тепер повернемося до початкового заміщення: x^2 = t.

1. x^2 = 25: Звідси отримуємо два значення для x: x = √25 = 5 та x = -√25 = -5.

2. x^2 = -1: Оскільки квадрат ніколи не може бути від'ємним, це рівняння не має розв'язків у дійсних числах.

Отже, розв'язки для першого рівняння x^4 - 24x^2 - 25 = 0: x = 5 або x = -5.

2. x^4 - 7x^2 + 10 = 0:

Так само, зробимо підстановку: x^2 = t.

Тоді рівняння стане: t^2 - 7t + 10 = 0.

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння за допомогою факторизації або квадратного кореня.

Факторизуємо: (t - 5)(t - 2) = 0.

Таким чином, ми отримали два значення для t: t = 5 та t = 2.

Тепер повернемося до початкового заміщення: x^2 = t.

2. x^2 = 5: Звідси отримуємо два значення для x: x = √5 та x = -√5.

3. x^2 = 2: Звідси отримуємо два значення для x: x = √2 та x = -√2.

Отже, розв'язки для другого рівняння x^4 - 7x^2 + 10 = 0: x = √5, x = -√5, x = √2 та x = -√2.