Question

Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключенный между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

Answer 1

2 способа доказательства.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть у нас есть две параллельные прямые (AB и CD) и их секущая (EF), которая касается окружности в точке P. Пусть O - центр окружности.

Так как прямые AB и CD параллельны, а секущая EF пересекает их, то у нас имеются следующие соотношения:

1. Угол APE равен углу EPD (как соответственные углы, образованные параллельными прямыми).
2. Угол BPF равен углу FPC (как соответственные углы, образованные параллельными прямыми).

Теперь рассмотрим треугольник EPD. Мы знаем, что угол EPO прямой, так как радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания. Также, у нас есть равенство углов APE и EPD.

Из этих двух фактов следует, что угол EPO равен углу EPD.

Теперь рассмотрим треугольник FPC. Аналогично, угол FPO также равен углу FPC.

Теперь обратим внимание на треугольник OEF. Углы EPO и FPO равны, так как это одни и те же углы. Также у нас есть:

1. Угол OPE = 90° (так как радиус перпендикулярен к касательной).
2. Угол OFP = 90° (так как радиус перпендикулярен к касательной).

Итак, в треугольнике OEF у нас есть два угла, равных 90°, что делает его прямоугольным треугольником. Таким образом, отрезок EF виден из центра окружности O под прямым углом.