Question

(у²-2у)²-4у²+8у+3=0решите с помощью замены переменной

Answer 1

$(y^2-2y)^2-4y^2+8y+3=0\\ (y^2-2y)^2-4(y^2-2y)+3=0$

Произведем замену переменных. Пусть $y^2-2y=t$, получим квадратное уравнение относительно t.

$t^2-4t+3=0$

Вычислим корни квадратного уравнения по теореме Виетта:

$t_1=1\\ t_2=3$

ОБРАТНАЯ ЗАМЕНА

$y^2-2y=1\\ y^2-2y+1-1=1\\ (y-1)^2=2\\ \boxed{y=1\pm\sqrt{2}}$

$y^2-2y=3\\ y^2-2y-3=0$

Найдем корни квадратного уравнения по т. Виетта:

$\boxed{y=-1}\\ \\ \boxed{y=3}$

Answer 2

Для решения данного уравнения с помощью замены переменной, давайте выполним замену:

Положим: z = у² - 2у

Теперь уравнение примет вид: z² - 4у² + 8у + 3 = 0

Теперь решим уравнение относительно z:

z² - 4у² + 8у + 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z, которое можно решить с помощью стандартных методов:

z² - 4у² + 8у + 3 = 0

Сначала найдем дискриминант D:

D = (8у)² - 4 * 1 * (3 - 4у²)

D = 64у² - 4(3 - 4у²)

D = 64у² - 12 + 16у²

D = 80у² - 12

Теперь найдем значения z через дискриминант D:

z = (-8у ± √(80у² - 12)) / 2

z = (-8у ± √(4(20у² - 3))) / 2

z = (-8у ± 2√(20у² - 3)) / 2

z = -4у ± √(20у² - 3)

Таким образом, у нас есть два значения z:

z₁ = -4у + √(20у² - 3)

z₂ = -4у - √(20у² - 3)

Теперь вернемся к первоначальной замене:

у² - 2у = z

Теперь подставим значения z₁ и z₂:

у² - 2у = -4у + √(20у² - 3) ... (1)

у² - 2у = -4у - √(20у² - 3) ... (2)

Теперь решим каждое из уравнений (1) и (2) относительно у:

(1) у² - 2у + 4у - √(20у² - 3) = 0

(2) у² - 2у + 4у + √(20у² - 3) = 0

Упростим:

(1) у² + 2у - √(20у² - 3) = 0

(2) у² + 2у + √(20у² - 3) = 0

Теперь у нас есть два квадратных уравнения, которые можно решить с помощью стандартных методов. Решим каждое из них относительно у:

(1) у² + 2у - √(20у² - 3) = 0

(2) у² + 2у + √(20у² - 3) = 0

Решение этих уравнений даст нам значения у. После того, как мы найдем значения у, можем найти значения z с помощью первоначальной замены.