Question

Решите неравенства. √x^{2} -6X+9≤5 |5-3X|≥5

Answer 1

1)

$\sqrt{x^2}-6x+9 \leq 5\\ \to\\|x|-6x \leq -4, ~x\geq 0\\|x|-6x \leq -4, ~x < 0\\\\x \geq \frac{4}{5}, ~x\geq 0\\x \geq \frac{4}{7}, ~x$

x ∈ ∅

Ответ: x ∈ $[\frac{4}{5}, + \infty]$

2)

$>5\\\to\\5-3x>5,~~ \to ~~5-3x\geq0\\-(5-3x)>5,~~ \to~~5-3x \frac{10}{3}, x > \frac{5}{3}$

Ответ: x ∈ $(- \infty, 0)$ ∪ $(\frac{10}{3}, + \infty)$

Answer 2

Для решения неравенства, разобьем его на два неравенства и рассмотрим каждое из них отдельно.

1. √x^2 - 6x + 9 ≤ 5: Сначала найдем корни уравнения в левой части, чтобы определить интервалы значений x, при которых оно верно. √x^2 - 6x + 9 = 5

Вычитаем 5 из обеих частей: √x^2 - 6x + 4 = 0

Теперь решим уравнение √x^2 - 6x + 4 = 0: (√x - 2)(√x - 2) = 0 √x - 2 = 0 √x = 2

Так как мы извлекаем корень, x не может быть отрицательным, поэтому x = 2.

Теперь проверим значения в интервалах (-∞, 2] и [2, +∞):

a) Для интервала (-∞, 2]: Подставим x = 0 (любое значение меньше 2) в исходное неравенство: √(0)^2 - 6(0) + 9 ≤ 5 √9 ≤ 5 3 ≤ 5 (верно)

b) Для интервала [2, +∞): Подставим x = 3 (любое значение больше 2) в исходное неравенство: √(3)^2 - 6(3) + 9 ≤ 5 √9 - 18 + 9 ≤ 5 3 - 18 + 9 ≤ 5 -6 ≤ 5 (верно)

Таким образом, неравенство √x^2 - 6x + 9 ≤ 5 верно для всех значений x.

2. |5 - 3x| ≥ 5: Разобьем это неравенство на два неравенства:

a) 5 - 3x ≥ 5: Вычитаем 5 из обеих частей: -3x ≥ 0

Делим на -3 с изменением направления неравенства: x ≤ 0

b) -(5 - 3x) ≥ 5: Умножаем обе части на -1 и меняем направление неравенства: 5 - 3x ≤ -5

Вычитаем 5 из обеих частей: -3x ≤ -10

Делим на -3 с изменением направления неравенства: x ≥ 10/3

Таким образом, решением неравенства |5 - 3x| ≥ 5 является объединение интервалов x ≤ 0 и x ≥ 10/3.

В итоге, решением исходного неравенства √x^2 - 6x + 9 ≤ 5 |5 - 3x| ≥ 5 является объединение интервалов x ≤ 0 и x ≥ 10/3.