Question

Чему равно значение выражения: a^4+4a+4/a +1/a^4, если а+1/а=8

Answer 1

Найти F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a), если a + 1/a = 8.

Наша цель - выразить a^4 + (1/a)^4 через (a + 1/a).

(a + 1/a)^4 = a^4 + 4a*(1/a)^3 + 6a^2*(1/a)^2 + 4a^3*1/a + (1/a)^4 =

= a^4 + (1/a)^4 + 4a^2 + 4*(1/a)^2 + 6 = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a^2 + (1/a)^2) + 6

Но с другой стороны

(a + 1/a)^4 = 8^4 = 4096

Дальше.

(a + 1/a)^2 = a^2 + 2a*1/a + (1/a)^2 = a^2 + (1/a)^2 + 2

Но с другой стороны

(a + 1/a)^2 = 8^2 = 64

Значит

a^2 + (1/a)^2 = (a + 1/a)^2 - 2 = 64 - 2 = 62

Отсюда

a^4 + (1/a)^4 = (a + 1/a)^4 - 4*(a^2 + (1/a)^2) - 6 = 4096 - 4*62 - 6 = 3842

F = a^4 + (1/a)^4 + 4*(a + 1/a) = 3842 + 4*8 = 3842 + 32 = 3874

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать известное выражение (а + 1/а)^2 = a^2 + 2a + 1/а^2. Дано, что а + 1/а = 8, поэтому (а + 1/а)^2 = 8^2 = 64.

Теперь рассмотрим выражение (а + 1/а)^4:

(а + 1/а)^4 = (a^2 + 2a + 1/а^2)^2 = (a^2 + 2a + 1/а^2)(a^2 + 2a + 1/а^2)

Раскроем скобки:

(а + 1/а)^4 = a^4 + 2a^3/а + a^2/а^2 + 2a^2 + 2a/а^2 + 1/а^2 + a/а^3 + 2/а^2 + 1/а^4

Теперь заметим, что a^2/а^2 = 1 и 2a/а^2 = 2/а. Подставим это в выражение:

(а + 1/а)^4 = a^4 + 2(a^3/а + a/а^3) + 1 + 2a + 2/а + 1/а^4

Теперь обратим внимание, что a/а^3 = 1/а^2 и 2/а = 2a^3/а^4. Подставим это в выражение:

(а + 1/а)^4 = a^4 + 2(1 + 1/а^2) + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4

Дано, что а + 1/а = 8, поэтому:

(а + 1/а)^4 = a^4 + 2(1 + 1/а^2) + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4 = a^4 + 2(8) + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4

Теперь воспользуемся данной информацией и найдем значение выражения a^4 + 4a + 4/а + 1/а^4:

a^4 + 4a + 4/а + 1/а^4 = a^4 + 2(8) + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4 = a^4 + 16 + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4

Теперь мы знаем, что (а + 1/а)^4 = a^4 + 16 + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4, и дано, что (а + 1/а)^4 = 64. Подставим это значение:

64 = a^4 + 16 + 1 + 2a + 2a^3/а^4 + 1/а^4

Теперь перенесем все термины с a^4 на одну сторону уравнения:

a^4 + 2a^3/а^4 + 2a - 47 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. Однако, оно сложно, и я не вижу возможности выразить аналитическое решение для a. Если у вас есть конкретное числовое значение для a + 1/а (например, a + 1/а = 8), то можно решить это уравнение численно, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.