Question

Найти множество натуральных значений n , при которых значение дроби 3n-4/n есть натуральное число.

Answer 1

$\frac{3n-4}{n}=\frac{3n}{n}-\frac{4}{n}=3-\frac{4}{n}$ По условию, дробь должна быть целым числом. Поэтому n обязано быть делителем 4. Возможные значения n: 1; 2; 4.

1) n=1; $3-\frac{4}{n}=3-\frac{4}{1}=3-4=-1$ Число - 1 не является натуральным числом, поэтому n=1 бракуем.

2) n=2; $3-\frac{4}{2}=3-2=1.$ Число 1 является натуральным числом, поэтому n=2 включаем в ответ.

3) n=4; $3-\frac{4}{4}=3-1=2.$ Число 2 является натуральным числом, поэтому n=4 включаем в ответ.

Ответ: $\{2;\ 4\}$

Answer 2

Чтобы значение дроби $\frac{3n-4}{n}$ было натуральным числом, числитель должен делиться на $n$ без остатка. Давайте рассмотрим это условие:

$\frac{3n-4}{n} = 3 - \frac{4}{n}$

Мы заметим, что для того, чтобы дробь была целым числом, $\frac{4}{n}$ также должна быть целым числом. Это возможно только в тех случаях, когда $n$ является делителем числа 4.

Таким образом, множество натуральных значений $n$, при которых $\frac{3n-4}{n}$ является натуральным числом, состоит из всех положительных делителей числа 4. Включая: $n = 1, 2, \text{ и } 4$.