Question

Найти предел lim(x->inf)=(1+2x+4x^2)/(x^3-3x^2+7) не пользуясь правилом Лопиталя

Answer 1

Делим выражение на член с наибольшей степенью:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(1+2x+4x^2)}{x^3-3x^2+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{1}{x^3} +\frac{2}{x^2} +\frac{4}{x} )}{1-\frac{3}{x} +\frac{7}{x^3} }$

Далее можно подставить вместо x бесконечность, тогда отношения в знаменателе и числителе обратятся в 0:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\frac{1}{x^3} +\frac{2}{x^2} +\frac{4}{x} )}{1-\frac{3}{x} +\frac{7}{x^3} }=\frac{0}{1} =0$

Ответ: 0

Answer 2

Для нахождения предела lim(x->inf) [(1+2x+4x^2)/(x^3-3x^2+7)] без использования правила Лопиталя, можно применить простые алгебраические преобразования:

1. Разделим каждый член числителя и знаменателя на x^3, так как это старший член в знаменателе:

   lim(x->inf) [(1/x^3 + 2/x^2 + 4/x) / (1 - 3/x + 7/x^3)]

2. Теперь рассмотрим предел каждого слагаемого отдельно:

   a) Предел первого слагаемого (1/x^3) при x стремящемся к бесконечности равен нулю: lim(x->inf) (1/x^3) = 0

   b) Предел второго слагаемого (2/x^2) при x стремящемся к бесконечности равен нулю: lim(x->inf) (2/x^2) = 0

   c) Предел третьего слагаемого (4/x) при x стремящемся к бесконечности также равен нулю: lim(x->inf) (4/x) = 0

   d) Предел четвертого слагаемого (1) при x стремящемся к бесконечности равен 1, так как константа остается неизменной: lim(x->inf) 1 = 1

3. Теперь можем записать предел функции:

   lim(x->inf) [(1/x^3 + 2/x^2 + 4/x) / (1 - 3/x + 7/x^3)] = (0 + 0 + 0) / (1) = 0

Таким образом, предел данной функции при x стремящемся к бесконечности равен 0.