Question

Предел функции. Привет! Помогите, пожалуйста, рассчитать предел этой функции. Здесь нужно воспользоваться правилом Лопиталя, похоже, но у меня не получается) Lim (x->a) = (x^m - a^m)/(x^n - a^n); *Предел функции икс в степени эм минус а в степени эм разделить на икс в степени эн минус а в степени эн при икс стремящемся к а*

Answer 1

Нет, можно без Лопиталя. Воспользуйтесь тем, что
$x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a^1+x^{n-3}a^2+\ldots+x^1a^{n-2}+a^{n-1})$
Правда, это верно только, если m и n натуральные.

Answer 2

  
  
 $lim \ x->a \ \frac{(x^m-a^m)'}{(x^n-a^n)'}=\frac{m*x^{m-1}}{n*x^{n-1}} \\ \frac{m*a^{m-1}}{n*a^{n-1}} = \frac{m*a^m}{n*a^n}=\frac{m*a^{m-n}}{n}$

Answer 3

Предел функции

Привет! Я рад помочь с рассчетом предела функции, который ты указал. Для решения данной задачи, воспользуемся правилом Лопиталя. Дано следующее выражение:

Lim(x->a) [ (x^m - a^m) / (x^n - a^n) ]

где m, n и a - произвольные константы, а x стремится к a.

Шаг 1: Проверка на неопределенность

Перед применением правила Лопиталя, необходимо проверить, является ли выражение в исходном пределе неопределенностью. Для этого подставим x = a и проверим, получим ли мы 0/0 или бесконечность/бесконечность. Если это так, то правило Лопиталя может быть применено.

В данном случае, когда x стремится к a, числитель и знаменатель принимают значения 0^m - a^m = 0 - 0 = 0 и 0^n - a^n = 0 - 0 = 0 соответственно. Получаем неопределенность 0/0, поэтому можем применить правило Лопиталя.

Шаг 2: Применение правила Лопиталя

Правило Лопиталя позволяет нам найти предел таких неопределенностей путем нахождения предела отношения производных числителя и знаменателя. Производная числителя обозначается как f'(x), а производная знаменателя как g'(x).

Для данного предела, производные числителя и знаменателя можно найти следующим образом:

f'(x) = d/dx (x^m - a^m) = m*x^(m-1) g'(x) = d/dx (x^n - a^n) = n*x^(n-1)

Шаг 3: Нахождение предела нового выражения

Теперь, мы можем записать новое выражение, заменив исходное выражение соответствующим отношением производных:

Lim(x->a) [ (x^m - a^m) / (x^n - a^n) ] = Lim(x->a) [ (m*x^(m-1)) / (n*x^(n-1)) ]

Шаг 4: Подстановка значения a

Теперь, заменим переменную x на a в новом выражении и вычислим предел:

Lim(x->a) [ (m*x^(m-1)) / (n*x^(n-1)) ] = (m*a^(m-1)) / (n*a^(n-1))

Таким образом, предел функции равен (m*a^(m-1)) / (n*a^(n-1)).

Надеюсь, это объяснение помогло тебе понять, как рассчитать предел данной функции с использованием правила Лопиталя. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!