Question

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, известны точка М(-5; 3) гиперболы, и ее эксцентриситет =√2. Чему равна длина мнимой полуоси гиперболы?

Answer 1

Решение в приложении.

Ответ:

уравнение гиперболы имеет вид:

$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1$

4.

Answer 2

Для гиперболы с фокусами, расположенными на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, уравнение имеет вид:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

где $a$ - полуось, расположенная по оси абсцисс, $b$ - полуось, расположенная по оси ординат.

Так как фокусы находятся на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то фокусы будут находиться в точках $(-c, 0)$ и $(c, 0)$.

Мы знаем, что эксцентриситет $e = \sqrt{2}$, и для гиперболы его можно выразить через полуоси: $e = \frac{c}{a}$.

Также дана точка $M(-5, 3)$ на гиперболе, и мы можем найти расстояние от этой точки до фокуса:

$\sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + c)^2 + (y - 0)^2}$

$(x - c)^2 + y^2 = (x + c)^2 + y^2$

$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = x^2 + 2cx + c^2 + y^2$

$4cx = 0$

$c = 0$

Таким образом, фокусы находятся в точках $(0, 0)$ и $(0, 0)$. Так как гипербола симметрична относительно оси абсцисс, длина мнимой полуоси равна нулю.