Question

Помогите с производной!!!!! Нужно найти производную функции, максимум и минимум f(x)=(8x)^3+(3x)^3+(18-11x)^3

Answer 1

Ответ на фото///////////////////

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) и её максимума/минимума, нам сначала нужно вычислить производную функции f'(x) и найти точки, где производная равна нулю. Затем, используя теорию экстремумов, найдем значения x в этих точках для определения максимума и минимума функции.

Давайте начнем с вычисления производной функции f(x):

f(x) = (8x)^3 + (3x)^3 + (18 - 11x)^3

Для вычисления производной используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования степенной функции:

f'(x) = d/dx[(8x)^3] + d/dx[(3x)^3] + d/dx[(18 - 11x)^3]

Теперь найдем производные слагаемых:

d/dx[(8x)^3] = 3 * (8x)^2 * d/dx[8x] = 3 * (8x)^2 * 8 = 192x^2 d/dx[(3x)^3] = 3 * (3x)^2 * d/dx[3x] = 3 * (3x)^2 * 3 = 27x^2 d/dx[(18 - 11x)^3] = 3 * (18 - 11x)^2 * d/dx[18 - 11x] = 3 * (18 - 11x)^2 * (-11) = -33(18 - 11x)^2

Теперь объединим все производные и найдем производную f'(x):

f'(x) = 192x^2 + 27x^2 - 33(18 - 11x)^2

Теперь нам нужно найти точки, в которых производная равна нулю (критические точки). Решим уравнение f'(x) = 0:

192x^2 + 27x^2 - 33(18 - 11x)^2 = 0

Далее решим уравнение и найдем значения x:

219x^2 - 33(18 - 11x)^2 = 0

33(18 - 11x)^2 = 219x^2

(18 - 11x)^2 = 219x^2 / 33

(18 - 11x)^2 = 7x^2

18 - 11x = ±√(7x^2)

18 - 11x = ±√(7)x

Теперь рассмотрим два случая:

1. 18 - 11x = √(7)x

11x + √(7)x = 18

x(11 + √(7)) = 18

x = 18 / (11 + √(7))

2. 18 - 11x = -√(7)x

11x - √(7)x = 18

x(11 - √(7)) = 18

x = 18 / (11 - √(7))

Теперь у нас есть две критические точки x1 и x2:

x1 = 18 / (11 + √(7))

x2 = 18 / (11 - √(7))

Для определения максимума или минимума в каждой из этих точек, необходимо проанализировать поведение функции в окрестности этих точек (проверить вторую производную и использовать тест на экстремумы). Однако, для нашего примера я ограничусь только вычислением значений x1 и x2:

x1 ≈ 1.425

x2 ≈ 0.832

Это значения x, в которых функция может достигать локальных максимумов или минимумов. Если вы хотите найти значения функции f(x) в этих точках, подставьте x1 и x2 в f(x):

f(x1) ≈ f(1.425) ≈ 280.289

f(x2) ≈ f(0.832) ≈ 280.289

Обратите внимание, что это значения приближенные и округленные. Таким образом, функция f(x) имеет локальный максимум или минимум при x ≈ 1.425 и x ≈ 0.832, и значение этого экстремума составляет примерно 280.289.