Question

Разложите на неприводимые множители: x^4-x^2+2x+2

Answer 1

.....................................................

Answer 2

Для разложения на неприводимые множители полинома x^4 - x^2 + 2x + 2, мы будем использовать метод перебора.

1. Сначала проверим, есть ли у данного полинома рациональные корни (целые числа), используя теорему о рациональных корнях. По теореме, рациональные корни полинома могут быть представлены в виде p/q, где p - делитель свободного члена (2), а q - делитель старшего коэффициента (1).

Возможные значения p: ±1, ±2. Возможные значения q: ±1.

Из теоремы следует, что рациональные корни могут быть: ±1 и ±2.

2. Проверим каждое из возможных значений, подставляя их в полином и ищем корни: a) Подставим x = 1: (1)^4 - (1)^2 + 2(1) + 2 = 1 - 1 + 2 + 2 = 4 (не равно 0)

   b) Подставим x = -1: (-1)^4 - (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 1 - 2 + 2 = 0

   Таким образом, x = -1 является корнем полинома.

3. Используем синтетическое деление или долгое деление, чтобы разделить полином на (x + 1): (x^4 - x^2 + 2x + 2) / (x + 1) = x^3 - 1

Теперь у нас есть частное x^3 - 1. Продолжим факторизацию, пока не получим все неприводимые множители.

4. Полином x^3 - 1 уже нельзя разложить на дальнейшие рациональные корни, поэтому мы будем искать неприводимые множители в нем.

5. Посмотрим на его корни: a) Подставим x = 1: (1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0

   Таким образом, x = 1 является корнем полинома x^3 - 1.

6. Используем синтетическое деление или долгое деление, чтобы разделить x^3 - 1 на (x - 1): (x^3 - 1) / (x - 1) = x^2 + x + 1

Теперь у нас есть частное x^2 + x + 1, которое нельзя разложить на рациональные корни, следовательно, это неприводимый множитель.

Итак, разложение полинома на неприводимые множители: x^4 - x^2 + 2x + 2 = (x + 1)(x^3 - 1) = (x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)