Question

Решите систему уравнений 3 различными способами: x+2y=12 ; 2x-3y=-18

Answer 1

I метод подстановки:

{x+2y=12
{2x-3y=-18

х=(12-2у)


2×(12-2у)-3у=-18
24-4у-3у=-18
-7у=-18-24
-7у=-42|÷(-7)

у=6

х=12-2у
х=12-2×6
х=12-12
х=0

(0;6)

II метод сложения и/или вычитания:

{x+2y=12|×2
{2x-3y=-18

{2x+4y=24
{2x-3y=-18

2х+4у-2х-(-3у)=24-(-18)
4у+3у=24+18
7у=42|÷7

у=6

х+2у=12
х=12-2у
х=12-2×6
х=12-12

х=0

(0;6)

III графический метод:

{x+2y=12
{2x-3y=-18

2у=12-х|÷2

у=(12-х)/2- первый график

2х-3у=-18
-3у=-18-2х|÷(-3)

у=(18+2х)/3- второй график.

на координатной плоскости ХОУ строим графики данных функций.
Для построения достаточно найти и указать две точки:

х=0

1. у=(12-0)/2
у=12/2
у=6

2. у=(18+2×0)/3
у=18/3
у=6

х=2

1. у=(12-2)/2
у=10/2
у=5

2. у=(18+2×2)/3
у=22/3
у=7(1/3)

1. А(0;6); В(2;5)-для первого грфика.

2.С(0;6); D(2;7(1/3))-для второго графика.

На координатной плоскости отмечаем точки для первого графика А(0;6); В(2;5) и соединяем их между собой, получили прямую.

Тоже самое отмечаем точки для второго графика С(0;6); D(2;7(1/3)) и также соединяем их между собой, получили также прямую.

Решением данной системы графическим способом, мы видим, является точка пересечения двух этих прямых.

Это точка, как мы видим по нашему чертежу, с координатами (0;6).

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений "x + 2y = 12" и "2x - 3y = -18" тремя различными способами: методом подстановки, методом исключения и методом матриц.

1. Метод подстановки:

Шаг 1: Решим одно из уравнений относительно одной из переменных. Из первого уравнения получаем: x = 12 - 2y

Шаг 2: Подставим это значение x во второе уравнение: 2(12 - 2y) - 3y = -18

Шаг 3: Решим получившееся уравнение: 24 - 4y - 3y = -18 -7y = -18 - 24 -7y = -42 y = -42 / -7 y = 6

Шаг 4: Теперь найдем значение x, подставив значение y в любое из исходных уравнений (для удобства, возьмем первое): x = 12 - 2y x = 12 - 2 * 6 x = 12 - 12 x = 0

Ответ: x = 0, y = 6

2. Метод исключения:

Шаг 1: Умножим оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты перед одной из переменных сравнялись по модулю. В данном случае, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2: 3(x + 2y) = 3 * 12 2(2x - 3y) = 2 * (-18)

Получим: 3x + 6y = 36 4x - 6y = -36

Шаг 2: Теперь сложим оба уравнения, чтобы исключить y: (3x + 6y) + (4x - 6y) = 36 - 36 7x = 0

Шаг 3: Решим уравнение для x: 7x = 0 x = 0

Шаг 4: Теперь найдем значение y, подставив значение x в любое из исходных уравнений (для удобства, возьмем первое): x + 2y = 12 0 + 2y = 12 2y = 12 y = 6

Ответ: x = 0, y = 6

3. Метод матриц:

Запишем систему уравнений в матричной форме: AX = B где A - матрица коэффициентов перед переменными, X - столбец переменных (x и y), B - столбец свободных членов.

| 1 2 | | x | | 12 | | | * | | = | | | 2 -3 | | y | | -18|

Теперь найдем обратную матрицу для матрицы A (если она существует) и умножим обратную матрицу на матрицу B, чтобы найти столбец переменных X:

| 1 2 | ^ -1 | -3 2 | | | = | | | 2 -3 | | -2 1 |

| x | | -3 2 | | 12 | | | = | | * | | | y | | -2 1 | | -18|

Теперь умножим матрицы:

| x | | (-3 * 12) + (2 * -18) | | 0 | | | = | | = | | | y | | (-2 * 12) + (1 * -18) | | 6 |

Ответ: x = 0, y = 6

Как видим, все три способа дали одинаковый ответ: x = 0, y = 6.