Question

Доказать равенство lim 1\3n n→∞ =0 с какого N члены последовательности отличаются от предела (0) меньше чем на 1\100

Answer 1

Зная определение предела последовательности, укажем тот самый номер $N$ с которого выполняется неравенство $|1/(3n)|$. Таким номером, очевидно, является $N=[1/\epsilon]$ (где [...] - целая часть числа)

т.е.

$\forall \epsilon>0 \; \exists N=[1/\epsilon] \in \mathbb {N} :\forall n>N \; |1/(3n)|$

Если есть сомнения, можете проверить это утверждение непосредственным вычислением

Пусть $\epsilon =1/4$ тогда $N=4$ и следовательно $1/(3*5)$ и т.п.

С какого N члены последовательности отличаются от величины предела меньше чем на 1/100?

$\epsilon=1/100, |1/(3n)|$

из неравенства находим

$n>100/3 \approx 33.3$

значит $N=33$

и при всех $n>33$ (т.е. с 34-го члена) члены последовательности отличаются от нуля меньше чем на 1/100

Answer 2

Для доказательства равенства lim (1/3n) при n→∞ = 0 и для нахождения значения N, начиная с которого члены последовательности отличаются от предела (0) меньше, чем на 1/100, воспользуемся определением предела последовательности.

Определение предела последовательности: Последовательность {an} имеет предел L при n→∞, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что для всех n > N выполняется неравенство |an - L| < ε.

Для данной последовательности {1/3n} нам нужно найти такой номер N, начиная с которого |1/3n - 0| < 1/100.

Решение:

1. Найдем предел последовательности: lim (1/3n) при n→∞ = 0 Это действительно равенство, так как при больших значениях n, 1/3n стремится к нулю.

2. Теперь рассмотрим неравенство |1/3n - 0| < 1/100: |1/3n| < 1/100

3. Избавимся от модуля, учитывая, что 1/3n всегда положительно: 1/3n < 1/100

4. Чтобы найти значение N, подставим 1/100 вместо 1/3n: 1/3N < 1/100

5. Решим неравенство относительно N: N > 3/100

6. Так как N должно быть целым числом, округлим значение 3/100 вверх: N > 1/34

7. Поскольку N должно быть натуральным числом (так как это номер элемента последовательности), окончательное значение N равно 2. Это означает, что начиная с элемента с номером N = 2, члены последовательности отличаются от предела (0) меньше, чем на 1/100.

Таким образом, мы доказали равенство lim (1/3n) при n→∞ = 0 и нашли значение N = 2, начиная с которого члены последовательности отличаются от предела (0) меньше, чем на 1/100.