Question

Y=4÷х . выяснить являются ли обратимой функцией. Помогите пожалуйста с решением тоже.

Answer 1

Да, является. Поскольку график - гипербола. По определению обратимой функцией является только та, которая при одном значении x принимает одно значение y.

Answer 2

Для того чтобы определить, является ли функция Y = 4/х обратимой, нужно выполнить два шага:

1. Найти область определения функции (Domain).
2. Проверить, существует ли обратная функция.

Шаг 1: Область определения функции (Domain) Область определения - это множество всех допустимых значений переменной х. В данном случае, функция Y = 4/х будет определена только при условии, что х ≠ 0, так как деление на ноль не определено. Поэтому область определения функции - все действительные числа, кроме нуля: D = {х ∈ R | х ≠ 0}.

Шаг 2: Поиск обратной функции Чтобы узнать, существует ли обратная функция для данной, нужно проверить, является ли функция одновременно инъективной (инъекция - "один-к-одному") и сюръективной (сюръекция - "на-к-одному").

• Инъективность: Функция Y = 4/х будет инъективной, если для любых двух разных значений х₁ и х₂ из области определения D, соответствующие значения Y различны. Давайте проверим это: Предположим х₁ ≠ х₂. Тогда Y₁ = 4/х₁ и Y₂ = 4/х₂. Если х₁ ≠ х₂, то Y₁ ≠ Y₂, так как Y₁ и Y₂ имеют разные значения, следовательно, функция инъективна.

• Сюръективность: Функция Y = 4/х будет сюръективной, если для любого значения Y из области значений (Range), существует х из области определения D, такое что Y = 4/х. Давайте проверим это: Область значений данной функции - все действительные числа, кроме нуля: R = {Y ∈ R | Y ≠ 0}. Теперь, чтобы найти х, которое соответствует заданному Y, решим уравнение: Y = 4/х Перепишем уравнение: х = 4/Y Мы можем видеть, что независимо от значения Y (кроме Y = 0), найдется соответствующее х. Таким образом, функция сюръективна.

Поскольку функция одновременно инъективна и сюръективна (биективна), она имеет обратную функцию. Функция Y = 4/х обратима.

Обратная функция: Y^(-1) = х/4