Question

Исследуйте функцию f(x)=-2x²+4

Answer 1

Не уверена что правильно

Answer 2

Для исследования функции f(x) = -2x² + 4 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти значения x, при которых производная функции равна нулю (критические точки).
3. Найти значения x, при которых функция может иметь точки перегиба (точки, где производная проходит через ноль).
4. Исследовать поведение функции в окрестности критических точек и точек перегиба.
5. Найти значения функции в экстремумах и определить, являются ли они максимумами или минимумами.
6. Найти исходя из производной функции знак функции на разных интервалах (определить участки возрастания и убывания функции).
7. Найти точки пересечения функции с осями координат (если они есть).

Давайте последовательно выполним эти шаги:

1. Область определения функции: Функция определена для всех действительных значений x.

2. Найдем производную функции f'(x): f'(x) = d/dx (-2x² + 4) = -4x.

3. Найдем критические точки (значения x, при которых производная равна нулю): -4x = 0 x = 0

4. Точки перегиба: Точки перегиба возникают тогда, когда у производной функции есть критические точки. В данном случае, производная f'(x) = -4x не имеет точек перегиба, так как она является линейной функцией.

5. Найдем значение функции в критической точке: f(0) = -2(0)² + 4 = 4

Таким образом, функция имеет экстремум, который равен 4 и находится в точке (0, 4).

6. Определим участки возрастания и убывания функции:

Для этого построим таблицу знаков производной на интервалах:

markdownCopy code
Интервал     | -∞   | 0   | +∞
-------------------------------
Знак f'(x)   |  -   |  0  |  +
-------------------------------
Знак f(x)    |  +   |  0  |  +

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞).

7. Найдем точки пересечения функции с осями координат: Для этого решим уравнение f(x) = 0: -2x² + 4 = 0 2x² = 4 x² = 2 x = ±√2

Точки пересечения с осями координат: (±√2, 0)

Итак, мы исследовали функцию f(x) = -2x² + 4 и получили следующие результаты:

• Область определения: все действительные числа.
• Критические точки (экстремум): (0, 4).
• Точки пересечения с осями координат: (±√2, 0).
• Функция убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞).
• Нет точек перегиба, так как производная линейна.