Question

Разложите на множители: x⁸+x⁷+1

Answer 1

x⁸ + x⁷ + 1 = x⁸ + x⁷ + x⁶ - x⁶ + 1 = (x⁸ + x⁷ + x⁶) - (x⁶ - 1) =

= x⁶(x² + x + 1) - ((x³)² - 1) = x⁶(x² + x + 1) - (x³ - 1)(x³ + 1) =

= x⁶(x² + x + 1) - (x - 1)(x² + x + 1)(x³ + 1) = (x² + x + 1)(x⁶ - x⁴ + x³ - x + 1)

Answer 2

Для разложения выражения x⁸ + x⁷ + 1 на множители, сначала посмотрим, есть ли общий множитель у всех трех членов. В данном случае общий множитель - это 1, так как каждый член имеет степень x не меньше 0.

Теперь давайте попробуем применить технику группировки. Возможно, удастся выделить общий множитель в первых двух членах:

x⁸ + x⁷ + 1

= x⁷(x + 1) + 1

Теперь у нас есть общий множитель (x + 1) в первых двух членах. После группировки получим:

= (x⁷ + 1) + (x + 1)

Теперь давайте рассмотрим первый слагаемое (x⁷ + 1). Похоже, что мы можем применить формулу суммы кубов, чтобы разложить его дальше:

x⁷ + 1 = (x⁴)² + 1²

Используя формулу суммы кубов, мы можем записать это как:

x⁷ + 1 = (x⁴ + 1)(x⁴ - x² + 1)

Таким образом, исходное выражение x⁸ + x⁷ + 1 может быть разложено на множители следующим образом:

x⁸ + x⁷ + 1 = (x⁴ + 1)(x⁴ - x² + 1)(x + 1)