Question

Решите дифф. уравнение 2xy - 2x + 2(x^2)y' + y' = 0

Answer 1

Ну, это дифференциальное уравнение имеет вид: f1(x) *g1(y) *y'=f2(x) *g2(y),

где f1(x) = 1

g1(y)=1

f2(x) = 2x/2x^2+1

g2(y)=-y(x)+1.

Ну, а там уже привили к тому виду.

Т.к. мы разделили g2(y), мы и разделили на него x и y. А потом умножили на dx

И под конец, возьмём из обоих частей интеграл:

От левой части, интеграл по y, по правой части, по x. Ну а дальше табличный интеграл и ответ.

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

$2xy - 2x + 2x^2y' + y' = 0$

Для решения этого уравнения, преобразуем его в стандартную форму дифференциальных уравнений, где y' - это производная y по x.

1. Соберем все слагаемые с y' в одну часть уравнения:

$2x^2y' + y' = y'(2x^2 + 1) = 0$

2. Выразим производную y':

$y'(2x^2 + 1) = 0$

Теперь рассмотрим два возможных случая:

a) Если $y'(2x^2 + 1) = 0$, тогда уравнение $y'(2x^2 + 1) = 0$ выполнено, если $y' = 0$ или $2x^2 + 1 = 0$.

i) Если $y' = 0$, то производная y по x равна нулю. В этом случае уравнение становится:

$2xy - 2x = 0$

Факторизуем:

$2x(y - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения:

1. $2x = 0$ => $x = 0$

2. $y - 1 = 0$ => $y = 1$

b) Если $2x^2 + 1 = 0$, то уравнение не имеет действительных корней, так как выражение $2x^2 + 1$ всегда больше 0 для любого значения x.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

$y = 1$ или $x = 0$