Question

Определите экстремумы функции f(x)=x3-9x​

Answer 1

f(x)=x³-9x; f'(x)=3x²-9=0

x²-3=0; (x+√3)(x-√3)=0

  x  I (-∞;-√3) I   -√3  I (-√3; √3) I   √3   I  (√3; ∞)

f'(x) I      +       I     0    I      -          I     0    I     +

f(x)  I увел.    I  max   I   уменьш I   min  I    увелич.

f(-√3)=-3√3-9*(-√3)=6√3 - max

f(√3)=3√3-9√3=-6√3 - min.

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = x^3 - 9x$, необходимо найти значения $x$, при которых производная $f'(x)$ равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$. $f'(x) = 3x^2 - 9$.

Шаг 2: Решим уравнение $f'(x) = 0$ для определения критических точек (точек, где производная равна нулю): $3x^2 - 9 = 0$.

Шаг 3: Решим уравнение для $x$: $3x^2 = 9$, $x^2 = 3$, $x = \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, получаем две критические точки $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.

Теперь нам нужно определить, являются ли эти точки экстремумами. Для этого проанализируем знаки производной в окрестностях каждой критической точки.

1. Когда $x > \sqrt{3}$, то $x^2 > 3$, и $3x^2 - 9 > 0$. Значит, производная положительна, и функция $f(x)$ возрастает в интервале $(\sqrt{3}, +\infty)$.

2. Когда $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$, то $0 < x^2 < 3$, и $3x^2 - 9 < 0$. Значит, производная отрицательна, и функция $f(x)$ убывает в интервале $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$.

3. Когда $x < -\sqrt{3}$, то $x^2 > 3$, и $3x^2 - 9 > 0$. Значит, производная снова положительна, и функция $f(x)$ возрастает в интервале $-\infty, -\sqrt{3}$.

Таким образом, имеем следующую картину:

• В точке $x = \sqrt{3}$ происходит переход с убывания на возрастание, что означает, что функция имеет локальный минимум в этой точке.
• В точке $x = -\sqrt{3}$ происходит переход с возрастания на убывание, что означает, что функция имеет локальный максимум в этой точке.

Таким образом, функция $f(x) = x^3 - 9x$ имеет локальный минимум в точке $x = \sqrt{3}$ и локальный максимум в точке $x = -\sqrt{3}$.