Question

Знайдіть точки екстремуму функції : у=х4-2х2.

Answer 1

Ответ: точки экстремума ищем через 1 произврдную, значение которой приравниваем нулю. 4*х^3-4*х=4*х*(х^2-1)=0. Точки экстремума х1=-1 и у1=0, х2=0 и у2=0, х3=1 и у3=0.

Объяснение:

Answer 2

Дана функція:

$y = {x}^{4} - 2 {x}^{2}$

Знайдемо її похідну ( y' = g(x) ):

$g(x) = 4 {x}^{3} - 4x$

Знайдемо значення похідної в 0 (g(x) = 0):

$4 {x}^{3} - 4x = 0 \\ 4x( {x}^{2} - 1) = 0 \\ x( {x}^{2} - 1) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1$

Ми знайшли 3 можливі точки екстремуму: 0, 1, -1. Перевіримо, чи дійсно ці точки є екстремумами функції:

1) Підставимо в похідну точку -2. Значення від'ємне, отже функція спадає;

2) Підставимо в похідну точку -0.5. Значення додатне, отже функція зростає;

3) Підставимо в похідну точку 0.5. Значення від'ємне, отже функція спадає;

4) Підставимо в похідну точку 2. Значення додатне, отже функція зростає.

Отже на проміжку xє(-∞;-1) функція спадає; хє(-1;0) – функція зростає; хє(0;1) – функція спадає; хє(1;+∞) – функція зростає. Отже ці точки дійсно є екстремумами функції.

Відповідь: -1, 0, 1.

Answer 3

Щоб знайти точки екстремуму функції, спочатку знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля, а потім знайдемо значення x, які задовольняють цьому рівнянню.

Дано: у = х^4 - 2х^2

1. Знайдемо похідну функції у відносно x: у' = 4х^3 - 4х

2. Прирівняємо похідну до нуля та розв'яжемо рівняння: 4х^3 - 4х = 0

Загальний множник у цьому рівнянні - 4х, тому ми можемо розкласти його: 4х(х^2 - 1) = 0

Отримали два рівняння: 4х = 0 або х^2 - 1 = 0

3. Розв'яжемо перше рівняння: 4х = 0 х = 0

4. Розв'яжемо друге рівняння: х^2 - 1 = 0 х^2 = 1 х = ±1

Таким чином, ми отримали три можливі значення x, які задовольняють умові у' = 0: x = 0, x = 1, x = -1

5. Щоб знайти відповідні значення у, підставимо кожне значення x у вихідну функцію: у(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 у(1) = 1^4 - 2(1)^2 = -1 у(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = -1

Таким чином, точки екстремуму функції у = х^4 - 2х^2 є: (0, 0), (1, -1), (-1, -1)