Question

Где расположены точки,изображающие комплексное число z = z+iy,для которых Re z^2 <= 2?

Answer 1

$Re z^2=Re(x^2+2xyi-y^2)=x^2-y^2\leq 2$

Answer 2

Для нахождения точек, изображающих комплексные числа z = x + iy, удовлетворяющие условию Re(z^2) <= 2, мы можем использовать следующий подход:

1. Разложим квадрат комплексного числа z^2 = (x + iy)^2. По формуле разности квадратов мы получаем: z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy.

2. Рассмотрим действительную часть полученного квадрата Re(z^2) = x^2 - y^2. Условие Re(z^2) <= 2 становится x^2 - y^2 <= 2.

3. Преобразуем неравенство: x^2 <= y^2 + 2.

4. Заметим, что левая часть x^2 должна быть меньше или равна правой части y^2 + 2. Это означает, что действительная часть комплексного числа z^2 должна быть меньше или равна y^2 + 2.

Теперь мы можем рассмотреть различные случаи:

• Если y^2 + 2 > 0, то действительная часть любого комплексного числа z^2 будет меньше этого значения. То есть, для всех комплексных чисел z = x + iy, где y^2 + 2 > 0, условие Re(z^2) <= 2 выполняется.

• Если y^2 + 2 = 0, то неравенство становится x^2 <= 0. Это означает, что комплексное число z = x + iy, где y^2 + 2 = 0, должно иметь нулевую действительную часть, то есть x = 0.

Таким образом, точки, изображающие комплексные числа z = z + iy, для которых Re(z^2) <= 2, находятся на прямой, проходящей через ось y и проходящей через ноль на оси x.