Question

Доказать совместность систем уравнений и решить ее двумя способами: а) с помощью обратной матрицы; б) по правилу Крамера 2х₁ - 2х₂ - 3х₃ = 2 -х₁ + х₂ + х₃ = 0 4х₁ - 2х₂ + х₃ = 4

Answer 1

б) Решение по правилу Крамера

x1 x2 x3 B

2 -2 -3 2

-1 1 1 0  

4 -2 1 4 = 2  Определитель  не равен нулю.

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

2 -2 -3  

0 1 1  

4 -2 1  = 10 Определитель  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

2 2 -3  

-1 0 1  

4 4 1 = 14 Определитель  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

2 -2 2  

-1 1 0  

4 -2 4 = -4 Определитель.  

x1 = 10/2 = 5    

x2 = 14/2 = 7    

x3 = -4/2 = -2.    

Answer 2

Для начала, давайте проверим совместность системы уравнений. Система уравнений будет совместной, если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю.

Данная система имеет вид:

2х₁ - 2х₂ - 3х₃ = 2 -х₁ + х₂ + х₃ = 0 4х₁ - 2х₂ + х₃ = 4

Матрица коэффициентов системы:

| 2 -2 -3 | | -1 1 1 | | 4 -2 1 |

Вычислим её определитель. Совместность системы будет обеспечена, если определитель не равен нулю.

|A| = 2(1⋅1 - 1⋅(-2)) - (-2)(1⋅1 - 4⋅(-2)) - (-3)(1⋅(-2) - (-1)⋅4) |A| = 2(1 + 2) - (-2)(1 + 8) - (-3)(-2 - 4) |A| = 2(3) + 2(9) - (-3)(-6) |A| = 6 + 18 + 18 |A| = 42

Определитель матрицы коэффициентов A равен 42, что не является нулем, следовательно, система уравнений совместна.

Теперь давайте решим систему уравнений двумя способами:

а) С помощью обратной матрицы:

Для этого нам понадобится матрица коэффициентов A и вектор свободных членов b:

A = | 2 -2 -3 | b = | 2 | | -1 1 1 | | 0 | | 4 -2 1 | | 4 |

1. Найдем обратную матрицу A⁻¹:

A⁻¹ = (1/|A|) * adj(A)

где adj(A) - это матрица алгебраических дополнений матрицы A.

|A⁻¹| = 1/42

adj(A) = | 1 2 18 | | -1 5 10 | | 8 6 2 |

A⁻¹ = (1/42) * | 1 2 18 | | -1 5 10 | | 8 6 2 |

2. Найдем решение системы уравнений:

x = A⁻¹ * b

x = (1/42) * | 1 2 18 | * | 2 | | -1 5 10 | | 0 | | 8 6 2 | | 4 |

x = | (1/42)(2 + 0 + 36) | | (1/42)(-2 + 0 + 40) | | (1/42)*(16 + 0 + 8) |

x = | 38/42 | | 38/42 | | 24/42 |

Упростим дроби:

x = | 19/21 | | 19/21 | | 12/21 |

x = | 19/21 | | 19/21 | | 4/7 |

Ответ: x₁ = 19/21, x₂ = 19/21, x₃ = 4/7.

б) По правилу Крамера:

Для правила Крамера нам понадобится вычислить определители матрицы системы для каждой переменной. Затем найдем решения x₁, x₂ и x₃ следующим образом:

x₁ = |D₁| / |A| x₂ = |D₂| / |A| x₃ = |D₃| / |A|

где D₁, D₂ и D₃ - это определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца матрицы коэффициентов столбцом свободных членов.

1. Найдем определители D₁, D₂ и D₃:

D₁ = | 2 -2 -3 | D₂ = | 2 -2 -3 | D₃ = | 2 -2 2 | | 0 1 1 | | 0 1 1 | | 0 1 1 | | 4 -2 1 | | 4 -2 1 | | 4 -2 4 |

D₁ = 2(1 - 1) - (-2)(0 - 4) - (-3)(0 - (-2)) D₁ = 2 + 8 - 6 D₁ = 4

D₂ = 2(1 - 1) - (-2)(0 - 4) - (-3)(0 - (-2)) D₂ = 2 + 8 - 6 D₂ = 4

D₃ = 2(1 - 0) - (-2)(0 - 4) - (-3)(0 - 4) D₃ = 2 + 8 + 12 D₃ = 22

2. Найдем определитель матрицы коэффициентов |A| (мы уже вычисляли его выше):

|A| = 42

3. Найдем значения x₁, x₂ и x₃:

x₁ = D₁ / |A| = 4 / 42 = 2 / 21 x₂ = D₂ / |A| = 4 / 42 = 2 / 21 x₃ = D₃ / |A| = 22 / 42 = 11 / 21

Ответ: x₁ = 2/21, x₂ = 2/21, x₃ = 11/21.